Seja
f(x)=ccc 2 x-1, & se & x <= 1 x^2, & se & x>1
Encontre a reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f(1) )

Passo 1

Resumindo: temos a função por partes
f(x)= 2x-1, & x<=1, x^2, & x>1,
e queremos a reta tangente ao gráfico de f no ponto l(1,,f(1)r). Para isso, precisamos do valor de f(1) e da derivada f'(1).

Passo 2

Calcular f(1). Como 1<=1, usamos o ramo f(x)=2x-1. Logo,
f(1)=2cdot1-1=1

Passo 3

Determinar f'(1). Como o ponto x=1 é a fronteira dos dois ramos, calculamos as derivadas laterais:
– Para x<1, f(x)=2x-1 e ddx(2x-1)=2.
– Para x>1, f(x)=x^2 e ddx(x^2)=2x, então em x=1 vale 2cdot1=2.

Passo 4

Como as derivadas lateral esquerda e lateral direita coincidem em 2, concluímos que
f'(1)=2

Passo 5

A equação da reta tangente em l(1,1r) com coeficiente angular 2 é
y-1 = 2,(x-1)
Isolando y, obtemos
y = 2x - 2 + 1 = 2x -1

Resposta

A reta tangente é
y = 2x - 1

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