encontre a solucdo do problema de valor inicial dado.
y^prime+y^prime-2 y=2 t, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema envolve a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
A equação é
y'' + y' - 2y = 2t
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
Para resolver, vamos achar primeiro a solução homogênea, depois uma particular e por fim aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + y' - 2y = 0
e escrevemos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo-a:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32 implies r1 = 1, ; r2 = -2
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t .

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp, tentamos um polinômio de grau 1 em t:
yp(t) = A t + B,
logo
yp'(t) = A, yp''(t) = 0
Substituindo em y''+y'-2y=2t:
0 + A - 2(At + B) = 2t
que dá
-2A,t + (A - 2B) = 2t + 0
Comparando coeficientes:
-2A = 2 implies A = -1,
A - 2B = 0 implies -1 - 2B = 0 implies B = -tfrac12
Logo
yp(t) = -t - tfrac12 .

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma de yh e yp:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - t - tfrac12

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0:
y(0) = C1 + C2 - 0 - tfrac12 = 0 implies C1 + C2 = tfrac12
Em seguida derivamos:
y'(t) = C1 e^t - 2C2 e^-2t - 1,
e impomos y'(0)=1:
C1 - 2C2 - 1 = 1 implies C1 - 2C2 = 2
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac12, C1 - 2C2 = 2,
obtemos
C2 = -tfrac12, C1 = 1

Resposta

y(t) = e^t - tfrac12 e^-2t - t - tfrac12

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