encontre a solucdo do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O problema envolve a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
A equação é
A equação é
com as condições iniciais
e
.
Para resolver, vamos achar primeiro a solução homogênea, depois uma particular e por fim aplicar as condições iniciais.
Para resolver, vamos achar primeiro a solução homogênea, depois uma particular e por fim aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e escrevemos a equação característica
Resolvendo-a:
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
, tentamos um polinômio de grau 1 em
:
logo
Substituindo em
:
que dá
Comparando coeficientes:
Logo
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma de
e
:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro
:
Em seguida derivamos:
e impomos
:
Resolvendo o sistema
obtemos