Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
16 y^prime prime(t)-40 y^prime(t)+25 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para achar as soluções fundamentais e a solução geral da EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
16,y''(t)-40,y'(t)+25,y(t)=0
Essa é uma EDO de coeficientes constantes, e vamos usar o polinômio característico para resolver.

Passo 2

Procuramos soluções da forma y(t)=e^r t. Substituindo na EDO, temos
16,r^2e^r t-40,re^r t+25,e^r t=0
Como e^r tneq0, isso gera o polinômio característico
16r^2-40r+25=0 .

Passo 3

Calculamos o discriminante
De
Como De, a equação tem raiz dupla dada por
r=-(-40)2cdot16=4032=54 .

Passo 4

Para raiz dupla r=5/4, a teoria diz que as duas soluções fundamentais são
y1(t)=e^tfrac54 t, y2(t)=t,e^tfrac54 t

Passo 5

Logo, a solução geral da EDO é dada por combinação linear das soluções fundamentais:
A solução geral é
A solução geral é
A solução geral é

Resposta

As soluções fundamentais são y1(t)=e^tfrac54 t e y2(t)=t,e^tfrac54 t.
A solução geral é
y(t)=C1e^tfrac54 t+C2,t,e^tfrac54 t

Exercícios relacionados