Encontre a solução dos seguintes PVI lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)-4 y^prime(t)+4 y(t)=0, com y(0)=12 e y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI linear homogêneo de 2ª ordem
Conteúdo: EDO linear de coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica e a regra de solução para raiz dupla.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à EDO:
r^2 - 4r + 4 = 0
e resolvemos para r usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

O discriminante dessa equação é zero, logo temos raiz dupla:
r = 4 pm 02 = 2
Para raiz dupla r=2, a solução geral é dada por
y(t) = (C1 + C2,t),e^2t

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
y(0) = C1 = 12
Em seguida, derivamos y(t):
y'(t) = l[C2 + 2(C1 + C2 t)r]e^2t = l[C2 + 2C1 + 2C2 tr]e^2t
Logo em t=0:
y'(0) = C2 + 2C1 = -3
Substituindo C_1=12:
C2 + 24 = -3 implies C2 = -27

Resposta

y(t) = (12 - 27,t),e^2t

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