Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)-8 y^prime(t)+17 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções fundamentais e a solução geral da EDO homogênea de 2ª ordem
y''(t)-8y'(t)+17y(t)=0
Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes. Vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Substituindo y(t)=e^rt e suas derivadas na EDO, obtemos a equação característica
r^2-8r+17=0

Passo 3

Resolvendo essa equação de segundo grau pela fórmula de Bhaskara, temos
r=8pmraiz64-682=8pmraiz-42=4pm i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas 4pm i, as soluções fundamentais surgem das partes real e imaginária de e^(4+i)t. Portanto:
y1(t)=e^4tcos t
y2(t)=e^4tsin t

Resposta

As soluções fundamentais são y1(t)=e^4tcos t e y2(t)=e^4tsin t. A solução geral é y(t)=C1e^4tcos t+C2e^4tsin t, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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