Encontre as soluções da equação z^{2}+z+1=0 para z=(x, y), escrevendo
(x, y)(x, y)+(x, y)+1=(0,0)
e resolvendo simultaneamente o par de equações para x e y. Dica: Use o fato de que nenhum número real x satisfaz a equação para mostrar que y \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções z=(x,y) da equação
z^{2}+z+1=0,
escrita na forma de pares ordenados como
(x,y)(x,y)+(x,y)+1=(0,0).
Informações fornecidas e o que devemos obter:
  • Temos z=(x,y), que representa o número complexo x+iy.
  • A operação (x,y)(u,v) é a multiplicação de complexos em coordenadas: resultado será um par ordenado.
  • Precisamos transformar a equação complexa numa sistema de duas equações reais para x e y e resolver.
  • A dica: nenhum número real x satisfaz \,x^{2}+x+1=0, então devemos usar isso para concluir que y\neq 0.

Passo 2

Relembrando (e aprendendo) como multiplicar complexos em pares ordenados: se z_{1}=(x,y) representa x+iy e z_{2}=(u,v) representa u+iv, então
(x,y)(u,v)=(xu-yv,\;xv+yu).
Explicação rápida: o produto (x+iy)(u+iv)=xu + i(xv) + i(yu) + i^{2}(yv)= (xu-yv) + i(xv+yu). Aqui (xu-yv) é a parte real e (xv+yu) a parte imaginária.
Aplicando isso ao quadrado (x,y)(x,y) obtemos
(x,y)^{2}=(x^{2}-y^{2},\;2xy).

Passo 3

Agora escrevemos a equação dada em coordenadas. Somando os pares:
  • (x,y)^{2}=(x^{2}-y^{2},\;2xy).
  • (x,y)=(x,y).
  • O número real 1 é o par (1,0).
    Somando todos e igualando a (0,0) dá:
(x^{2}-y^{2},\;2xy) + (x,y) + (1,0) = (0,0).
Somando componente a componente, obtemos o sistema real:
\begin{cases} x^{2}-y^{2}+x+1=0,\\[4pt] 2xy+y=0. \end{cases}]

Passo 4

Analisemos a segunda equação \,2xy+y=0. Fatorando y temos
y(2x+1)=0.
Isto dá duas possibilidades: (A) y=0 ou (B) 2x+1=0 (ou seja, x=-\tfrac{1}{2}). Vamos examinar a opção y=0 usando a dica.

Passo 5

Se y=0 então o par é (x,0) e a primeira equação vira
x^{2}+x+1=0.
Agora uma pequena aula sobre equações quadráticas reais: para \,ax^{2}+bx+c=0 as raízes reais existem somente quando o discriminante \Delta=b^{2}-4ac é \ge 0. Aqui a=1, b=1, c=1, então
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4 = -3<0.
Como \Delta<0, não existem soluções reais para x. Portanto a hipótese y=0 é impossível. Concluímos que
y\neq 0.
Isso justifica o uso da dica do enunciado.

Passo 6

Como y\neq 0, da equação y(2x+1)=0 segue necessariamente 2x+1=0. Assim
x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Agora substituímos x=-\tfrac{1}{2} na primeira equação \,x^{2}-y^{2}+x+1=0. Calculamos passo a passo:
x^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4},
x+1 = -\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}.
Substituindo,
\tfrac{1}{4} - y^{2} + \tfrac{1}{2} = 0.
Somando os termos constantes:
\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{4}.
Logo
\tfrac{3}{4} - y^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad y^{2} = \tfrac{3}{4}.
Tomando raízes quadradas (lembrando que y pode ser positiva ou negativa),
y = \pm \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Portanto os pares (x,y) que satisfazem o sistema são
\left(-\tfrac{1}{2},\; \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(-\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Interpretação final em termos de números complexos: esses correspondem aos complexos -\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2} e -\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}, que são as duas raízes da equação \,z^{2}+z+1=0. (Opcional: são também as duas raízes primitivas de unidade de ordem 3, isto é, e^{\pm i2\pi/3}.)

Resposta

\left(-\tfrac{1}{2},\; \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
\left(-\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

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