Encontre as soluções da equação
para
, escrevendo
e resolvendo simultaneamente o par de equações para
e
. Dica: Use o fato de que nenhum número real
satisfaz a equação para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções
da equação
escrita na forma de pares ordenados como
Informações fornecidas e o que devemos obter:
- Temos
, que representa o número complexo . - A operação
é a multiplicação de complexos em coordenadas: resultado será um par ordenado. - Precisamos transformar a equação complexa numa sistema de duas equações reais para
e e resolver. - A dica: nenhum número real
satisfaz , então devemos usar isso para concluir que .
Passo 2
Relembrando (e aprendendo) como multiplicar complexos em pares ordenados: se
representa
e
representa
, então
Explicação rápida: o produto
. Aqui
é a parte real e
a parte imaginária.
Aplicando isso ao quadrado
obtemos
Passo 3
Agora escrevemos a equação dada em coordenadas. Somando os pares:
-
. -
. - O número real
é o par .
Somando todos e igualando adá:
Somando componente a componente, obtemos o sistema real:
Passo 4
Analisemos a segunda equação
. Fatorando
temos
Isto dá duas possibilidades: (A)
ou (B)
(ou seja,
). Vamos examinar a opção
usando a dica.
Passo 5
Se
então o par é
e a primeira equação vira
Agora uma pequena aula sobre equações quadráticas reais: para
as raízes reais existem somente quando o discriminante
é
. Aqui
,
,
, então
Como
, não existem soluções reais para
. Portanto a hipótese
é impossível. Concluímos que
Isso justifica o uso da dica do enunciado.
Passo 6
Como
, da equação
segue necessariamente
. Assim
Passo 7
Agora substituímos
na primeira equação
. Calculamos passo a passo:
Substituindo,
Somando os termos constantes:
Logo
Tomando raízes quadradas (lembrando que
pode ser positiva ou negativa),
Passo 8
Portanto os pares
que satisfazem o sistema são
Interpretação final em termos de números complexos: esses correspondem aos complexos
e
, que são as duas raízes da equação
. (Opcional: são também as duas raízes primitivas de unidade de ordem
, isto é,
.)