Questão 2. Reorganize as equações de modo a obter um sistema com diagonal estritamente dominante e, em seguida, realize duas iterações dos métodos de Jacobi e GaussSeidel, iniciando com o vetor \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}.
Pede-se: (1) reorganizar as equações de modo a obter um sistema com diagonal estritamente dominante e (2) realizar duas iterações dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel, começando com o vetor inicial \mathbf{x}^{(0)}.\n
Vetor inicial fornecido: \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}.\n
(Próximo passo: reorganizar as equações; aqui apenas identifiquei o pedido e os dados.)
Passo 2
Reorganização das equações para obter diagonal estritamente dominante (faço só permutação de linhas).\n
Vou trocar a ordem das equações para colocar a equação com coeficiente maior de x_{1} na primeira linha, a que tem coeficiente maior de x_{2} na segunda e a que tem coeficiente maior de x_{3} na terceira. A ordem escolhida é: (3), (1), (2).\n
Agora verifico a dominância linha a linha (diagonal estritamente dominante significa |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|).\n
Linha 1: coeficiente diagonal |a_{11}|=4, soma dos outros |a_{12}|+|a_{13}|=0+3=3. Tem 4>3. OK.\n
Linha 2: |a_{22}|=4, soma dos outros =|1|+0=1. Tem 4>1. OK.\n
Linha 3: |a_{33}|=2, soma dos outros =0+|1|=1. Tem 2>1. OK.\n
Portanto o sistema reordenado é estritamente diagonal dominante por linhas, condição suficiente para garantir convergência (sob certas hipóteses) dos métodos iterativos que usaremos.
Passo 3
Explicação didática do método de Jacobi e fórmula usada.\n
Ideia: em Jacobi, cada componente x_i^{(k+1)} é calculada isolando x_i na i-ésima equação e usando somente os valores da iteração anterior \mathbf{x}^{(k)} para as outras componentes.\n
Fórmula geral (para matriz A=(a_{ij}) e vetor b): x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\right).\n
Aqui cada símbolo significa: a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na i-ésima equação; b_i é o termo independente da i-ésima equação; x_j^{(k)} é a j-ésima componente do vetor na iteração anterior.\n
Como temos diagonal estritamente dominante, Jacobi tende a convergir para a solução real do sistema (isso é uma garantia prática comum).
Passo 4
Escrevo as fórmulas de iteração de Jacobi para o nosso sistema reordenado.\n
Nosso sistema reordenado em forma matricial (linhas indexadas 1…3) tem, para cada i:\n
Linha 1: 4x_{1}+0\cdot x_{2}+3x_{3}=0 com a_{11}=4, a_{13}=3, b_{1}=0.\n
Linha 2: 1x_{1}+4x_{2}+0\cdot x_{3}=5 com a_{21}=1, a_{22}=4, b_{2}=5.\n
Linha 3: 0\cdot x_{1}+1x_{2}+2x_{3}=2 com a_{32}=1, a_{33}=2, b_{3}=2.\n
Explicação didática do método de Gauss–Seidel e fórmula usada.\n
Ideia: em Gauss–Seidel, ao calcular a nova iteração, usamos imediatamente os valores atualizados já calculados na iteração corrente para componentes anteriores. Isso costuma acelerar a convergência.\n