Questão 2. Reorganize as equações de modo a obter um sistema com diagonal estritamente dominante e, em seguida, realize duas iterações dos métodos de Jacobi e GaussSeidel, iniciando com o vetor \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}.
\begin{array}{r} x_{1}+4 x_{2}=5 \\\ x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{3}=0 \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.\n
  • Pede-se: (1) reorganizar as equações de modo a obter um sistema com diagonal estritamente dominante e (2) realizar duas iterações dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel, começando com o vetor inicial \mathbf{x}^{(0)}.\n
  • Equações dadas:\n
\begin{array}{r} x_{1}+4 x_{2}=5 \\\ x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{3}=0 \end{array}\n
  • Vetor inicial fornecido: \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\top}.\n
    (Próximo passo: reorganizar as equações; aqui apenas identifiquei o pedido e os dados.)

Passo 2

Reorganização das equações para obter diagonal estritamente dominante (faço só permutação de linhas).\n
  • Vou trocar a ordem das equações para colocar a equação com coeficiente maior de x_{1} na primeira linha, a que tem coeficiente maior de x_{2} na segunda e a que tem coeficiente maior de x_{3} na terceira. A ordem escolhida é: (3), (1), (2).\n
  • Sistema reordenado:\n
\begin{array}{r} 4x_{1}+3x_{3}=0 \\\ x_{1}+4x_{2}=5 \\\ x_{2}+2x_{3}=2 \end{array}\n
  • Agora verifico a dominância linha a linha (diagonal estritamente dominante significa |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|).\n
    • Linha 1: coeficiente diagonal |a_{11}|=4, soma dos outros |a_{12}|+|a_{13}|=0+3=3. Tem 4>3. OK.\n
    • Linha 2: |a_{22}|=4, soma dos outros =|1|+0=1. Tem 4>1. OK.\n
    • Linha 3: |a_{33}|=2, soma dos outros =0+|1|=1. Tem 2>1. OK.\n
      Portanto o sistema reordenado é estritamente diagonal dominante por linhas, condição suficiente para garantir convergência (sob certas hipóteses) dos métodos iterativos que usaremos.

Passo 3

Explicação didática do método de Jacobi e fórmula usada.\n
  • Ideia: em Jacobi, cada componente x_i^{(k+1)} é calculada isolando x_i na i-ésima equação e usando somente os valores da iteração anterior \mathbf{x}^{(k)} para as outras componentes.\n
  • Fórmula geral (para matriz A=(a_{ij}) e vetor b): x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\right).\n
  • Aqui cada símbolo significa: a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na i-ésima equação; b_i é o termo independente da i-ésima equação; x_j^{(k)} é a j-ésima componente do vetor na iteração anterior.\n
  • Como temos diagonal estritamente dominante, Jacobi tende a convergir para a solução real do sistema (isso é uma garantia prática comum).

Passo 4

Escrevo as fórmulas de iteração de Jacobi para o nosso sistema reordenado.\n
  • Nosso sistema reordenado em forma matricial (linhas indexadas 1…3) tem, para cada i:\n
    • Linha 1: 4x_{1}+0\cdot x_{2}+3x_{3}=0 com a_{11}=4, a_{13}=3, b_{1}=0.\n
    • Linha 2: 1x_{1}+4x_{2}+0\cdot x_{3}=5 com a_{21}=1, a_{22}=4, b_{2}=5.\n
    • Linha 3: 0\cdot x_{1}+1x_{2}+2x_{3}=2 com a_{32}=1, a_{33}=2, b_{3}=2.\n
  • Pelo método de Jacobi, as fórmulas são:\n
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(0-3x_{3}^{(k)}\bigr)=-\frac{3}{4}x_{3}^{(k)},\n
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(5-1\cdot x_{1}^{(k)}\bigr)=\frac{5-x_{1}^{(k)}}{4},\n
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{2}\bigl(2-1\cdot x_{2}^{(k)}\bigr)=1-\frac{1}{2}x_{2}^{(k)}.

Passo 5

Primeira iteração de Jacobi ( \mathbf{x}^{(0)}=[0\;0\;0]^{\top}). Faço as contas passo a passo.\n
  • Usando \mathbf{x}^{(0)} em cada fórmula (todas usam valores de \mathbf{x}^{(0)}):\n
    • x_{1}^{(1)}=-\frac{3}{4}x_{3}^{(0)}=-\frac{3}{4}\cdot 0=0.\n
    • x_{2}^{(1)}=\frac{5-x_{1}^{(0)}}{4}=\frac{5-0}{4}=\frac{5}{4}.\n
    • x_{3}^{(1)}=1-\frac{1}{2}x_{2}^{(0)}=1-\frac{1}{2}\cdot 0=1.\n
  • Resultado da primeira iteração de Jacobi:\n
\mathbf{x}^{(1)}_{\text{Jacobi}}=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]\tfrac{5}{4}\\[4pt]1\end{array}\right].]

Passo 6

Segunda iteração de Jacobi ( \mathbf{x}^{(1)} já calculada). Uso sempre os valores da iteração anterior.\n
  • Substituindo \mathbf{x}^{(1)} nas fórmulas:\n
    • x_{1}^{(2)}=-\frac{3}{4}x_{3}^{(1)}=-\frac{3}{4}\cdot 1=-\frac{3}{4}.\n
    • x_{2}^{(2)}=\frac{5-x_{1}^{(1)}}{4}=\frac{5-0}{4}=\frac{5}{4}.\n(observe que x_{1}^{(1)}=0 então x_{2}^{(2)} fica igual a x_{2}^{(1)}).\n
    • x_{3}^{(2)}=1-\frac{1}{2}x_{2}^{(1)}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}.\n
  • Resultado da segunda iteração de Jacobi:\n
\mathbf{x}^{(2)}_{\text{Jacobi}}=\left[\begin{array}{c}-\tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{5}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{8}\end{array}\right].]

Passo 7

Explicação didática do método de Gauss–Seidel e fórmula usada.\n
  • Ideia: em Gauss–Seidel, ao calcular a nova iteração, usamos imediatamente os valores atualizados já calculados na iteração corrente para componentes anteriores. Isso costuma acelerar a convergência.\n
  • Fórmula geral: x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).\n
  • Aqui o significado é parecido com Jacobi, mas na soma sobre j<i usamos os novos valores x_j^{(k+1)} já computados nesta mesma iteração.

Passo 8

Escrevo as atualizações de Gauss–Seidel para o nosso sistema (mesma matriz reordenada).\n
  • Aplicando a fórmula às três equações obtemos:\n
x_{1}^{(k+1)}=-\frac{3}{4}x_{3}^{(k)} \quad\text{(mesma forma que em Jacobi para a 1ª, pois só depende de }x_{3}),ªó\n
x_{2}^{(k+1)}=\frac{5-x_{1}^{(k+1)}}{4}\quad\text{(aqui uso }x_{1}^{(k+1)}\text{ que já foi calculado nesta iteração)},áçã\n
x_{3}^{(k+1)}=1-\frac{1}{2}x_{2}^{(k+1)}\quad\text{(aqui uso }x_{2}^{(k+1)}\text{ já atualizado)}.á

Passo 9

Primeira iteração de Gauss–Seidel ( \mathbf{x}^{(0)}=[0\;0\;0]^{\top}). Faço passo a passo usando atualizações imediatas.\n
  • Começo com x_{3}^{(0)}=0, x_{1}^{(0)}=0, x_{2}^{(0)}=0.\n
    • x_{1}^{(1)}=-\frac{3}{4}x_{3}^{(0)}=-\frac{3}{4}\cdot 0=0.\n
    • x_{2}^{(1)}=\frac{5-x_{1}^{(1)}}{4}=\frac{5-0}{4}=\frac{5}{4}.\n
    • x_{3}^{(1)}=1-\frac{1}{2}x_{2}^{(1)}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}.\n
  • Resultado da primeira iteração de Gauss–Seidel:\n
\mathbf{x}^{(1)}_{\text{GS}}=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]\tfrac{5}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{8}\end{array}\right].]

Passo 10

Segunda iteração de Gauss–Seidel (uso os valores já atualizados da iteração 1 sempre que possível).\n
  • Começo com \mathbf{x}^{(1)}_{\text{GS}}=\left[\;0,\;\tfrac{5}{4},\;\tfrac{3}{8}\;\right]^{\top}.\n
    • Calculo x_{1}^{(2)} usando x_{3}^{(1)}=\tfrac{3}{8}:\n
x_{1}^{(2)}=-\frac{3}{4}x_{3}^{(1)}=-\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{8}=-\frac{9}{32}.\n
  • Em seguida x_{2}^{(2)} usando x_{1}^{(2)}=-\tfrac{9}{32}:\n
x_{2}^{(2)}=\frac{5-x_{1}^{(2)}}{4}=\frac{5-(-\tfrac{9}{32})}{4}=\frac{5+\tfrac{9}{32}}{4}=\frac{\tfrac{160}{32}+\tfrac{9}{32}}{4}=\frac{\tfrac{169}{32}}{4}=\frac{169}{128}.\n
  • Finalmente x_{3}^{(2)} usando x_{2}^{(2)}=\tfrac{169}{128}:\n
x_{3}^{(2)}=1-\frac{1}{2}x_{2}^{(2)}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{169}{128}=1-\frac{169}{256}=\frac{256-169}{256}=\frac{87}{256}.\n
  • Resultado da segunda iteração de Gauss–Seidel:\n
\mathbf{x}^{(2)}_{\text{GS}}=\left[\begin{array}{c}-\tfrac{9}{32}\\[4pt]\tfrac{169}{128}\\[4pt]\tfrac{87}{256}\end{array}\right].]

Resposta

Sistema reordenado:
\begin{array}{r} 4x_{1}+3x_{3}=0 \\\ x_{1}+4x_{2}=5 \\\ x_{2}+2x_{3}=2 \end{array}
Jacobi: \mathbf{x}^{(1)}_{\text{Jacobi}}=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]\tfrac{5}{4}\\[4pt]1\end{array}\right], \mathbf{x}^{(2)}_{\text{Jacobi}}=\left[\begin{array}{c}-\tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{5}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{8}\end{array}\right]\n
Gauss–Seidel: \mathbf{x}^{(1)}_{\text{GS}}=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]\tfrac{5}{4}\\[4pt]\tfrac{3}{8}\end{array}\right], \mathbf{x}^{(2)}_{\text{GS}}=\left[\begin{array}{c}-\tfrac{9}{32}\\[4pt]\tfrac{169}{128}\\[4pt]\tfrac{87}{256}\end{array}\right]]

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