Verifique que numa pirâmide quadrangular regular o volume
, a área lateral
e a área total
satisfazem a relação
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique a identidade
As informações relevantes (todas implícitas na frase “pirâmide quadrangular regular”) são:
- a base é um quadrado de lado
; - a pirâmide é regular, logo o vértice está sobre a perpendicular ao centro do quadrado;
-
é o volume da pirâmide; -
é a área lateral (soma das áreas das quatro faces triangulares laterais); -
é a área total (base + área lateral).
Não começamos a resolver aqui; só organizamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos introduzir variáveis geométricas simples para trabalhar:
- seja
o lado do quadrado da base; - seja
a altura da pirâmide (distância do vértice ao plano da base); - seja
a apótema lateral ou geratriz (slant height) — é a altura de cada triângulo lateral desde o vértice até o meio de um lado da base.
Explico como pensar nessas grandezas:
- a base é um quadrado de lado
, então sua área base é a^2(). - cada face lateral é um triângulo isósceles de base
e altura . A área de um triângulo é metade da base vezes a altura, ou seja, para uma face . Como há quatro faces iguais, a área lateral total é quatro vezes isso.)
Passo 3
Agora escrevo as fórmulas essenciais em termos de
:
Área lateral
:
Área da base
(não pedida diretamente, mas útil):
Área total
:
Volume
(fórmula do volume de uma pirâmide: um terço da área da base vezes a altura):
Estas fórmulas são padrão e é importante memorizá-las: área do triângulo, área do quadrado, volume da pirâmide.
Passo 4
Calculo o lado esquerdo da identidade,
, substituindo
:
Então
Passo 5
Calculo o lado direito
. Primeiro obtenho expressões simples:
Agora uso
. Portanto
Coloco os fatores em evidência:
Passo 6
Simplifico o fator
:
pois os termos
aparecem com sinais contrários e se cancelam. Logo
Passo 7
Comparando os dois lados obtidos, precisamos verificar que
Como
(lado do quadrado), podemos dividir por
e ficamos com
ou equivalentemente
Passo 8
Mostro que a última igualdade é verdadeira geometricamente: no triângulo retângulo formado pela altura
, pela metade de um lado da base
(do centro da base até o ponto médio de um lado) e pela geratriz
, vale o Teorema de Pitágoras. Assim
o que rearranjado dá exatamente
Portanto a igualdade do Passo 7 é satisfeita.
Passo 9
Concluímos que as expressões dos dois lados coincidem, logo a identidade desejada é verdadeira para qualquer pirâmide quadrangular regular.