Verifique que numa pirâmide quadrangular regular o volume V, a área lateral A e a área total S satisfazem a relação 36 V^{2}=S(S-A)(2 A-S).

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique a identidade
36V^{2}=S(S-A)(2A-S).
As informações relevantes (todas implícitas na frase “pirâmide quadrangular regular”) são:
  • a base é um quadrado de lado a;
  • a pirâmide é regular, logo o vértice está sobre a perpendicular ao centro do quadrado;
  • V é o volume da pirâmide;
  • A é a área lateral (soma das áreas das quatro faces triangulares laterais);
  • S é a área total (base + área lateral).
    Não começamos a resolver aqui; só organizamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos introduzir variáveis geométricas simples para trabalhar:
  • seja a o lado do quadrado da base;
  • seja h a altura da pirâmide (distância do vértice ao plano da base);
  • seja l a apótema lateral ou geratriz (slant height) — é a altura de cada triângulo lateral desde o vértice até o meio de um lado da base.
Explico como pensar nessas grandezas:
  • a base é um quadrado de lado a, então sua área base é a^2().
  • cada face lateral é um triângulo isósceles de base a e altura l. A área de um triângulo é metade da base vezes a altura, ou seja, para uma face \frac{1}{2}a l. Como há quatro faces iguais, a área lateral total é quatro vezes isso.)

Passo 3

Agora escrevo as fórmulas essenciais em termos de a,h,l:
Área lateral A:
A = 4\cdot\frac{1}{2}a l = 2 a l.
Área da base B (não pedida diretamente, mas útil):
B = a^{2}.
Área total S:
S = B + A = a^{2} + 2 a l.
Volume V (fórmula do volume de uma pirâmide: um terço da área da base vezes a altura):
V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} a^{2} h.
Estas fórmulas são padrão e é importante memorizá-las: área do triângulo, área do quadrado, volume da pirâmide.

Passo 4

Calculo o lado esquerdo da identidade, 36V^{2}, substituindo V:
36V^{2} = 36\left(\frac{1}{3}a^{2}h\right)^{2} = 36\cdot\frac{1}{9}a^{4}h^{2} = 4 a^{4} h^{2}.
Então
36V^{2} = 4 a^{4} h^{2}.

Passo 5

Calculo o lado direito S(S-A)(2A-S). Primeiro obtenho expressões simples:
  • S - A = (a^{2}+2 a l) - 2 a l = a^{2}.
  • 2A - S = 2(2 a l) - (a^{2}+2 a l) = 4 a l - a^{2} - 2 a l = 2 a l - a^{2} = a(2 l - a).
Agora uso S = a^{2}+2 a l = a(a+2 l). Portanto
S(S-A)(2A-S) = \bigl(a(a+2 l)\bigr)\cdot a^{2}\cdot a(2 l - a).
Coloco os fatores em evidência:
S(S-A)(2A-S) = a^{4}(a+2 l)(2 l - a).

Passo 6

Simplifico o fator (a+2 l)(2 l - a):
(a+2 l)(2 l - a) = (2 l)^{2} - a^{2} = 4 l^{2} - a^{2},
pois os termos 2al aparecem com sinais contrários e se cancelam. Logo
S(S-A)(2A-S) = a^{4}(4 l^{2} - a^{2}).

Passo 7

Comparando os dois lados obtidos, precisamos verificar que
4 a^{4} h^{2} \stackrel{?}{=} a^{4}(4 l^{2} - a^{2}).
Como a>0 (lado do quadrado), podemos dividir por a^{4} e ficamos com
4 h^{2} = 4 l^{2} - a^{2},
ou equivalentemente
h^{2} = l^{2} - \frac{a^{2}}{4}.

Passo 8

Mostro que a última igualdade é verdadeira geometricamente: no triângulo retângulo formado pela altura h, pela metade de um lado da base \frac{a}{2} (do centro da base até o ponto médio de um lado) e pela geratriz l, vale o Teorema de Pitágoras. Assim
l^{2} = h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = h^{2} + \frac{a^{2}}{4},
o que rearranjado dá exatamente
h^{2} = l^{2} - \frac{a^{2}}{4}.
Portanto a igualdade do Passo 7 é satisfeita.

Passo 9

Concluímos que as expressões dos dois lados coincidem, logo a identidade desejada é verdadeira para qualquer pirâmide quadrangular regular.

Resposta

36V^{2}=S(S-A)(2A-S)

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