Usando coordenadas polares para os fatores individuais e depois passando o resultado final novamente para coordenadas cartesianas, mostre que
\frac{5 i}{2+i}=1+2 i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \dfrac{5 i}{2+i}=1+2 i usando coordenadas polares para os fatores individuais e depois voltando para coordenadas cartesianas.
Informações dadas: o numerador é o número complexo \,5 i\, e o denominador é o número complexo \,2+i\,. A tarefa é dividir esses complexos em forma polar, fazer a divisão em polar e então converter o resultado final para a forma cartesiana.

Passo 2

Lembrete sobre coordenadas polares de números complexos (mini-aula): qualquer número complexo \,z=x+yi\, pode ser escrito em forma polar como
z = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde \,r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, é o módulo e \,\theta=\arg z\, é o argumento (ângulo) medido a partir do eixo real positivo.
Para divisão de complexos em forma polar, se \,z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\, e \,z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\,, então
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big).
Isto significa: divide-se os módulos e subtrai-se os argumentos. Vou aplicar isso aos números dados.

Passo 3

Calculemos o módulo e argumento do numerador \,5 i\,.
O número \,5 i\, tem parte real 0 e parte imaginária 5. Então o módulo é
r_1=|5 i|=\sqrt{0^{2}+5^{2}}=5.
O argumento é o ângulo do eixo imaginário positivo, ou seja
\theta_1=\frac{\pi}{2}.
Portanto, em forma polar,
5 i = 5\big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\big).

Passo 4

Calculemos o módulo e argumento do denominador \,2+i\,.
O número \,2+i\, tem parte real 2 e parte imaginária 1. Então o módulo é
r_2=|2+i|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.
O argumento \theta_2 satisfaz \tan\theta_2=\dfrac{1}{2} e, como 2>0 e 1>0, o ângulo está no primeiro quadrante, logo
\theta_2=\arctan\!\big(\tfrac{1}{2}\big).
Em forma polar,
2+i=\sqrt{5}\big(\cos\!\arctan(\tfrac{1}{2})+i\sin\!\arctan(\tfrac{1}{2})\big).

Passo 5

Agora aplicamos a regra da divisão em polar: módulo do quociente
r=\frac{r_1}{r_2}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5},
e argumento do quociente
\theta=\theta_1-\theta_2=\frac{\pi}{2}-\arctan\!\big(\tfrac{1}{2}\big).
Assim o quociente em forma polar é
\frac{5 i}{2+i}=\sqrt{5}\Big(\cos\!\Big(\frac{\pi}{2}-\arctan(\tfrac{1}{2})\Big)+i\sin\!\Big(\frac{\pi}{2}-\arctan(\tfrac{1}{2})\Big)\Big).

Passo 6

Usamos identidades trigonométricas de ângulo complementar: para qualquer \varphi,
\cos\!\Big(\frac{\pi}{2}-\varphi\Big)=\sin\varphi,\qquad \sin\!\Big(\frac{\pi}{2}-\varphi\Big)=\cos\varphi.
Aqui tome \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{1}{2}\big). Então
\cos\!\Big(\frac{\pi}{2}-\arctan(\tfrac{1}{2})\Big)=\sin\!\arctan(\tfrac{1}{2}),
\sin\!\Big(\frac{\pi}{2}-\arctan(\tfrac{1}{2})\Big)=\cos\!\arctan(\tfrac{1}{2}).

Passo 7

Calculamos \sin e \cos de \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{1}{2}\big) usando um triângulo retângulo: se \tan\varphi=\tfrac{1}{2}, tome cateto oposto =1 e cateto adjacente =2. O hipotenusa é
\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.
Assim
\sin\!\arctan(\tfrac{1}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \cos\!\arctan(\tfrac{1}{2})=\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 8

Substituindo esses valores no quociente em polar:
\frac{5 i}{2+i}=\sqrt{5}\Big(\frac{1}{\sqrt{5}} + i\frac{2}{\sqrt{5}}\Big).
Agora multiplicamos o \sqrt{5} em cada termo: a parte real do quociente é \sqrt{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=1 e a parte imaginária (coeficiente de i) é \sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=2. Portanto as partes real e imaginária do quociente são 1 e 2, respectivamente.

Resposta

1+2 i

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