Usando coordenadas polares para os fatores individuais e depois passando o resultado final novamente para coordenadas cartesianas, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando coordenadas polares para os fatores individuais e depois voltando para coordenadas cartesianas.
Informações dadas: o numerador é o número complexo e o denominador é o número complexo
. A tarefa é dividir esses complexos em forma polar, fazer a divisão em polar e então converter o resultado final para a forma cartesiana.
Informações dadas: o numerador é o número complexo
Passo 2
Lembrete sobre coordenadas polares de números complexos (mini-aula): qualquer número complexo
pode ser escrito em forma polar como
onde
é o módulo e
é o argumento (ângulo) medido a partir do eixo real positivo.
Para divisão de complexos em forma polar, se e
, então
Para divisão de complexos em forma polar, se
Isto significa: divide-se os módulos e subtrai-se os argumentos. Vou aplicar isso aos números dados.
Passo 3
Calculemos o módulo e argumento do numerador
.
O número tem parte real
e parte imaginária
. Então o módulo é
O número
O argumento é o ângulo do eixo imaginário positivo, ou seja
Portanto, em forma polar,
Passo 4
Calculemos o módulo e argumento do denominador
.
O número tem parte real
e parte imaginária
. Então o módulo é
O número
O argumento
satisfaz
e, como
e
, o ângulo está no primeiro quadrante, logo
Em forma polar,
Passo 5
Agora aplicamos a regra da divisão em polar: módulo do quociente
e argumento do quociente
Assim o quociente em forma polar é
Passo 6
Usamos identidades trigonométricas de ângulo complementar: para qualquer
,
Aqui tome
. Então
Passo 7
Calculamos
e
de
usando um triângulo retângulo: se
, tome cateto oposto
e cateto adjacente
. O hipotenusa é
Assim
Passo 8
Substituindo esses valores no quociente em polar:
Agora multiplicamos o
em cada termo: a parte real do quociente é
e a parte imaginária (coeficiente de
) é
. Portanto as partes real e imaginária do quociente são
e
, respectivamente.