Mostre que n=raiz7+raiz48+raiz7-raiz48 é um número inteiro positivo.
(Resp: n=4 )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão e precisamos mostrar que é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos usar propriedades de radiciação e simplificação de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raiz48 = raiz16 times 3 = raiz16 times raiz3 = 4raiz3 . Sabemos que:
n = raiz7 + 4raiz3 + raiz7 - 4raiz3
Então, substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos chamar cada uma das raízes de algo para facilitar o cálculo. Vamos dizer que:
a = raiz7 + 4raiz3 e b = raiz7 - 4raiz3
Então, n^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 . Para encontrar o valor de , vamos calcular :

Passo 4

Sabemos que a^2 + b^2 = (7 + 4raiz3) + (7 - 4raiz3) = 14 e ab = raiz(7 + 4raiz3)(7 - 4raiz3) = raiz49 - (4raiz3)^2 = raiz49 - 48 = raiz1 = 1 . Somando e :
Agora, precisamos calcular . Observando que:
Portanto, .

Passo 5

Voltando à expressão de n^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 14 + 2 = 16 :
n = raiz16 = 4
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

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