1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(c) 4^{3 x-2}=2^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4^{3x-2}=2^{3x}.
Isso significa: encontrar todos os valores de x (reais) que tornam verdadeira essa igualdade entre potências. Informações relevantes dadas:
  • A base do primeiro termo é 4.
  • A base do segundo termo é 2.
  • Os expoentes dependem de x: 3x-2 e 3x.

Passo 2

A ideia principal que vamos usar é transformar as duas potências para terem a mesma base. Antes disso, um lembrete sobre propriedades de potências que vamos usar (com explicação simples):
  • Se a>0 e m,n são números, então (a^b)^c = a^{bc}. Isso diz que quando se eleva uma potência a outra potência, multiplica-se os expoentes.
  • Se a>0 e a\neq 1, a função a^t é injetora: isto é, se a^u=a^v então necessariamente u=v. Em palavras: potências com mesma base positiva (diferente de 1) são iguais só se os expoentes forem iguais.

Passo 3

Observação útil: 4 pode ser escrito como potência de 2, porque 4=2^2. Então substituímos na equação:
4^{3x-2} = (2^2)^{3x-2}.
Aplicando (a^b)^c = a^{bc} com a=2, b=2, c=3x-2, obtemos
(2^2)^{3x-2} = 2^{2(3x-2)}.

Passo 4

Agora calculamos o produto no expoente:
2(3x-2)=6x-4.
Portanto a equação original fica
2^{6x-4}=2^{3x}.

Passo 5

Como as duas potências têm a mesma base 2 (que é positiva e diferente de 1), podemos usar a propriedade da injetividade: os expoentes precisam ser iguais. Assim igualamos os expoentes:
6x-4=3x.
Agora resolvemos esta equação linear em x.

Passo 6

Resolvendo 6x-4=3x:
6x-4=3x \quad\Longrightarrow\quad 6x-3x=4 \quad\Longrightarrow\quad 3x=4.
Dividindo ambos os lados por 3:
x=\frac{4}{3}.

Passo 7

Conferência rápida (sempre bom fazer na prova): substituir x=\dfrac{4}{3} na equação original.
Cálculo do lado esquerdo:
4^{3x-2}=4^{3\cdot\frac{4}{3}-2}=4^{4-2}=4^{2}=16.
Cálculo do lado direito:
2^{3x}=2^{3\cdot\frac{4}{3}}=2^{4}=16.
Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.

Resposta

x=\dfrac{4}{3}

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