- Encontre as soluções das equações abaixo.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Isso significa: encontrar todos os valores de
(reais) que tornam verdadeira essa igualdade entre potências. Informações relevantes dadas:
- A base do primeiro termo é
. - A base do segundo termo é
. - Os expoentes dependem de
: e .
Passo 2
A ideia principal que vamos usar é transformar as duas potências para terem a mesma base. Antes disso, um lembrete sobre propriedades de potências que vamos usar (com explicação simples):
- Se
e são números, então . Isso diz que quando se eleva uma potência a outra potência, multiplica-se os expoentes. - Se
e , a função é injetora: isto é, se então necessariamente . Em palavras: potências com mesma base positiva (diferente de 1) são iguais só se os expoentes forem iguais.
Passo 3
Observação útil:
pode ser escrito como potência de
, porque
. Então substituímos na equação:
Aplicando
com
,
,
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos o produto no expoente:
Portanto a equação original fica
Passo 5
Como as duas potências têm a mesma base
(que é positiva e diferente de
), podemos usar a propriedade da injetividade: os expoentes precisam ser iguais. Assim igualamos os expoentes:
Agora resolvemos esta equação linear em
.
Passo 6
Resolvendo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Conferência rápida (sempre bom fazer na prova): substituir
na equação original.
Cálculo do lado esquerdo:
Cálculo do lado esquerdo:
Cálculo do lado direito:
Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.