Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente precisa separar as variáveis. O problema que temos é:
E a condição inicial é $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a organizar a equação para poder integrar cada lado com respeito a uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Olha só:
Aqui, fatoramos o $ x $ no numerador e o $ y $ no denominador para facilitar a separação das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, rearranjamos a equação:
Estamos colocando todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro lado.
Passo 4
Em seguida, vamos organizar para integrar ambos os lados da equação:
Mas ainda não está separada completamente. Então, precisamos manipular para obter todas as $ y $ de um lado e as $ x $ do outro.
Passo 5
Dividimos ambos os lados por $ y(2 + y^{2}) $ e por $ x(4 + x^{2}) $ para conseguir:
Agora sim, as variáveis estão separadas e podemos integrar cada lado.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Para integrar o lado esquerdo, fazemos uma substituição $ u = 2 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $, e para o lado direito, fazemos $ v = 4 + x^{2} $, então $ dv = 2x , dx $.
Passo 7
Após a substituição, as integrais ficam:
Essas integrais são logaritmos naturais, então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Voltando às variáveis originais:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Onde $ K = 2C $ ainda é uma constante.
Passo 9
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
Onde $ D = e^{K} $ é uma nova constante.
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ para encontrar $ D $:
Passo 11
Finalmente, substituímos $ D $ de volta na equação:
Resolvendo para $ y $:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: