Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis.
d yd x=2 x+x y^24 y+x^2 y y(pi2)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente precisa separar as variáveis. O problema que temos é:
dydx = 2x + x y^24 y + x^2 y
E a condição inicial é $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a organizar a equação para poder integrar cada lado com respeito a uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Olha só:
dydx = 2x + x y^24 y + x^2 y = x(2 + y^2)y(4 + x^2)
Aqui, fatoramos o $ x $ no numerador e o $ y $ no denominador para facilitar a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, rearranjamos a equação:
y
Estamos colocando todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro lado.

Passo 4

Em seguida, vamos organizar para integrar ambos os lados da equação:
y(4 + x^2) , dy = x(2 + y^2) , dx
Mas ainda não está separada completamente. Então, precisamos manipular para obter todas as $ y $ de um lado e as $ x $ do outro.

Passo 5

Dividimos ambos os lados por $ y(2 + y^{2}) $ e por $ x(4 + x^{2}) $ para conseguir:
y(2 + y^2)
Agora sim, as variáveis estão separadas e podemos integrar cada lado.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral y , dy2 + y^2 = integral x , dx4 + x^2
Para integrar o lado esquerdo, fazemos uma substituição $ u = 2 + y^{2} $, então $ du = 2y , dy $, e para o lado direito, fazemos $ v = 4 + x^{2} $, então $ dv = 2x , dx $.

Passo 7

Após a substituição, as integrais ficam:
12 integral duu = 12 integral dvv
Essas integrais são logaritmos naturais, então:
12 ln|u| = 12 ln|v| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Voltando às variáveis originais:
12 ln|2 + y^2| = 12 ln|4 + x^2| + C
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
ln|2 + y^2| = ln|4 + x^2| + K
Onde $ K = 2C $ ainda é uma constante.

Passo 9

Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
2 + y^2 = D(4 + x^2)
Onde $ D = e^{K} $ é uma nova constante.

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ para encontrar $ D $:
y(pi2) = 1
D
2 + (1)^2 = D(4 + (pi2)^2)

Passo 11

Finalmente, substituímos $ D $ de volta na equação:
D
Resolvendo para $ y $:
2 + y^2 = 1216 + pi^2(4 + x^2)

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = raiz1216 + pi^2(4 + x^2) - 2

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