(5 pontos; Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso h(t)=10 e^-1000|t|.
(b) Determine a frequência de corte omegac desse filtro, considerando o critério de - 3 dB.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um filtro passa-baixas não-ideal com a resposta ao impulso . Nosso objetivo aqui é encontrar a frequência de corte desse filtro usando o critério de -3 dB. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Fourier e como elas se aplicam aos filtros.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função de transferência H(omega) = integral-infty^infty h(t) e^-jomega t dt do filtro. A função de transferência é a transformada de Fourier da resposta ao impulso H(omega) = 10 integral-infty^infty e^-1000|t| e^-jomega t dt . Então, vamos calcular:
Substituindo :

Passo 3

Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que é a transformada de Fourier de uma função exponencial decrescente. Usando a propriedade conhecida:
integral-infty^infty e^-a|t| e^-jomega t dt = 2aa^2 + omega^2
No nosso caso, H(omega) = 10 cdot 2 cdot 10001000^2 + omega^2 = 200001000000 + omega^2 , então:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a frequência de corte |H(0)| = 200001000000 + 0 = 200001000000 = 0,02 onde a magnitude da função de transferência cai para |H(omegac)| = 0,02raiz2 approx 0,01414 vezes o valor máximo, que corresponde ao critério de -3 dB.
Primeiro, encontramos a magnitude máxima de . Quando :
Então, o -3 dB corresponde a:

Passo 5

Agora, igualamos a magnitude de 200001000000 + omegac^2 = 0,01414 a 0,01414 e resolvemos para 20000 = 0,01414 (1000000 + omegac^2) :
200000,01414 = 1000000 + omegac^2
Multiplicando ambos os lados por 1413802,836 approx 1000000 + omegac^2 :
413802,836 = omegac^2
Dividindo ambos os lados por 0,01414:
Calculando o lado esquerdo:
Subtraindo 1000000 de ambos os lados:

Passo 6

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar omegac = raiz413802,836 approx 643 rad/s :

Resposta

A frequência de corte do filtro é aproximadamente 643 rad/s.

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