(5 pontos; Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso
.
(b) Determine a frequência de corte
desse filtro, considerando o critério de - 3 dB.
(b) Determine a frequência de corte
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um filtro passa-baixas não-ideal com a resposta ao impulso
. Nosso objetivo aqui é encontrar a frequência de corte
desse filtro usando o critério de -3 dB. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Fourier e como elas se aplicam aos filtros.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função de transferência
do filtro. A função de transferência é a transformada de Fourier da resposta ao impulso
. Então, vamos calcular:
Substituindo
:
Passo 3
Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que é a transformada de Fourier de uma função exponencial decrescente. Usando a propriedade conhecida:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a frequência de corte
onde a magnitude da função de transferência cai para
vezes o valor máximo, que corresponde ao critério de -3 dB.
Primeiro, encontramos a magnitude máxima de
. Quando
:
Então, o -3 dB corresponde a:
Passo 5
Agora, igualamos a magnitude de
a 0,01414 e resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 0,01414:
Calculando o lado esquerdo:
Subtraindo 1000000 de ambos os lados:
Passo 6
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A frequência de corte
do filtro é aproximadamente 643 rad/s.