(5 pontos; Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso h(t)=10 e^-1000|t|.
© Determine uma expressão aproximada para a saída y(t) desse filtro quando é aplicado à sua entrada o sinal
x(t)=sumk=1^4 k cos (10^k t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma expressão aproximada para a saída de um filtro passa-baixas não ideal quando aplicamos uma entrada . A matéria envolvida aqui é de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT), especificamente filtros e convolução. Vamos precisar entender como um filtro afeta diferentes componentes de frequência de um sinal de entrada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a entrada x(t) = sumk=1^4 k cos(10^k t) :
Esse sinal é uma soma de quatro cossenos com frequências diferentes, multiplicados por coeficientes . Ou seja, é um sinal multi-frequencial.

Passo 3

O filtro é definido pela resposta ao impulso:
h(t) = 10 e^-1000|t|
Essa é uma função exponencial decrescente, típica de um filtro passa-baixas, que atenua componentes de alta frequência. Para entender como o filtro afeta , precisamos olhar para a resposta em frequência do filtro.

Passo 4

Vamos encontrar a transformada de Fourier de H(f) = integral-infty^infty h(t) e^-j2pi ft dt para obter sua resposta em frequência H(f) = 20 cdot 1000(2pi f)^2 + 1000^2 :
No caso de , sabemos que sua transformada de Fourier é:
Essa expressão mostra como o filtro atenua diferentes frequências.

Passo 5

Como y(t) = sumk=1^4 k cdot Fi é uma soma de cossenos, podemos aplicar a propriedade de linearidade do filtro:
Ou seja, a saída é a soma das saídas individuais para cada cosseno na entrada.

Passo 6

Cada termo y(t) = sumk=1^4 k cdot |H(fk)| cos(10^k t + phik) tem uma frequência angular . A saída para cada cosseno será o cosseno atenuado pelo ganho do filtro na frequência correspondente. Assim:
Onde e é a fase, que assumimos ser negligenciável para uma resposta simétrica.

Passo 7

Para simplificar, vamos considerar apenas a magnitude y(t) approx sumk=1^4 k cdot 20 cdot 1000(10^k)^2 + 1000^2 cos(10^k t) e ignorar a fase:
Isso nos dá uma expressão aproximada para a saída, mostrando como cada componente de frequência é atenuada pelo filtro.

Resposta

A expressão aproximada para a saída y(t) approx sumk=1^4 [ k cdot 20 times 1000(10^k)^2 + 1000^2 ] cos(10^k t) é:

Exercícios relacionados