(5 pontos; Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso
.
© Determine uma expressão aproximada para a saída
desse filtro quando é aplicado à sua entrada o sinal
© Determine uma expressão aproximada para a saída
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma expressão aproximada para a saída
de um filtro passa-baixas não ideal quando aplicamos uma entrada
. A matéria envolvida aqui é de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT), especificamente filtros e convolução. Vamos precisar entender como um filtro afeta diferentes componentes de frequência de um sinal de entrada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a entrada
:
Esse sinal é uma soma de quatro cossenos com frequências diferentes, multiplicados por coeficientes
. Ou seja, é um sinal multi-frequencial.
Passo 3
O filtro é definido pela resposta ao impulso:
Essa é uma função exponencial decrescente, típica de um filtro passa-baixas, que atenua componentes de alta frequência. Para entender como o filtro afeta
, precisamos olhar para a resposta em frequência do filtro.
Passo 4
Vamos encontrar a transformada de Fourier de
para obter sua resposta em frequência
:
No caso de
, sabemos que sua transformada de Fourier é:
Essa expressão mostra como o filtro atenua diferentes frequências.
Passo 5
Como
é uma soma de cossenos, podemos aplicar a propriedade de linearidade do filtro:
Ou seja, a saída é a soma das saídas individuais para cada cosseno na entrada.
Passo 6
Cada termo
tem uma frequência angular
. A saída para cada cosseno será o cosseno atenuado pelo ganho do filtro na frequência correspondente. Assim:
Onde
e
é a fase, que assumimos ser negligenciável para uma resposta simétrica.
Passo 7
Para simplificar, vamos considerar apenas a magnitude
e ignorar a fase:
Isso nos dá uma expressão aproximada para a saída, mostrando como cada componente de frequência é atenuada pelo filtro.
Resposta
A expressão aproximada para a saída
é: