Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P1(r1, theta1) e P2(r2, theta2) em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a fórmula da distância entre dois pontos no sistema de coordenadas polares. Isso envolve geometria analítica e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas polares para cartesianas e usar o teorema de Pitágoras com um toque de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto $ P(r, \theta) $ pode ser convertido para coordenadas cartesianas $ (x, y) $ usando as fórmulas:
P(r, theta)
(x, y)
Então, vamos converter os pontos $ P_1(r_1, \theta_1) $ e $ P_2(r_2, \theta_2) $ para coordenadas cartesianas.

Passo 3

Para $ P_1 $:
P1
x1 = r1 cos(theta1)
Para $ P_2 $:
y1 = r1 sin(theta1)
P2

Passo 4

Agora que temos os pontos em coordenadas cartesianas, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
D = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos substituir $ x_1, y_1, x_2, y_2 $ pelas expressões em termos de $ r $ e $ \theta $.

Passo 5

Substituindo, temos:
D = raiz(r2 cos(theta2) - r1 cos(theta1))^2 + (r2 sin(theta2) - r1 sin(theta1))^2
Vamos simplificar essa expressão expandindo os termos.

Passo 6

Expandindo os quadrados:
D^2 = (r2 cos(theta2))^2 - 2 r1 r2 cos(theta1)cos(theta2) + (r1 cos(theta1))^2 + (r2 sin(theta2))^2 - 2 r1 r2 sin(theta1)sin(theta2) + (r1 sin(theta1))^2
Agrupando os termos semelhantes:
D^2 = r1^2 (cos^2(theta1) + sin^2(theta1)) + r2^2 (cos^2(theta2) + sin^2(theta2)) - 2 r1 r2 (cos(theta1)cos(theta2) + sin(theta1)sin(theta2))

Passo 7

Sabemos que $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $, então simplificando:
cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1
Lembrando da fórmula do cosseno da diferença de ângulos:
D^2 = r1^2 + r2^2 - 2 r1 r2 (cos(theta1)cos(theta2) + sin(theta1)sin(theta2))
Então:
cos(theta1 - theta2) = cos(theta1)cos(theta2) + sin(theta1)sin(theta2)

Resposta

A fórmula da distância entre os pontos $ P_{1}\left(r_{1}, \theta_{1}\right) $ e $ P_{2}\left(r_{2}, \theta_{2}\right) $ em coordenadas polares é:
P1(r1, theta1)

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