Deduzir a fórmula da distância entre os pontos
e
em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a fórmula da distância entre dois pontos no sistema de coordenadas polares. Isso envolve geometria analítica e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas polares para cartesianas e usar o teorema de Pitágoras com um toque de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto $ P(r, \theta) $ pode ser convertido para coordenadas cartesianas $ (x, y) $ usando as fórmulas:
Então, vamos converter os pontos $ P_1(r_1, \theta_1) $ e $ P_2(r_2, \theta_2) $ para coordenadas cartesianas.
Passo 3
Para $ P_1 $:
Para $ P_2 $:
Passo 4
Agora que temos os pontos em coordenadas cartesianas, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
Vamos substituir $ x_1, y_1, x_2, y_2 $ pelas expressões em termos de $ r $ e $ \theta $.
Passo 5
Substituindo, temos:
Vamos simplificar essa expressão expandindo os termos.
Passo 6
Expandindo os quadrados:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Sabemos que $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $, então simplificando:
Lembrando da fórmula do cosseno da diferença de ângulos:
Então:
Resposta
A fórmula da distância entre os pontos $ P_{1}\left(r_{1}, \theta_{1}\right) $ e $ P_{2}\left(r_{2}, \theta_{2}\right) $ em coordenadas polares é: