Encontre as soluções das equações abaixo.
-4 x^2+4 x+19=0

Passo 1

O problema pede para encontrar as raízes da equação quadrática -4x^2 + 4x + 19 = 0. Vamos usar o conteúdo de equações de 2º grau e a fórmula de Bhaskara, que fornece as soluções em função dos coeficientes.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^2 + bx + c = 0: aqui a = -4, b = 4 e c = 19.

Passo 3

A fórmula de Bhaskara diz que as raízes são dadas por
x = -b pm raizDe
onde o discriminante De é De.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
$$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 19 = 16 + 304 = 320
$$
Como De, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Agora aplicamos na fórmula de Bhaskara:
x = -4 pm raiz3202 cdot (-4)
Observando que raiz320 = raiz64 cdot 5 = 8raiz5, fica
x = -4 pm 8raiz5-8
Dividindo numerador e denominador:
x = -4-8 pm 8raiz5-8 = 12 mp raiz5

Passo 6

Com isso, as duas soluções são
x1 = tfrac12 + raiz5, x2 = tfrac12 - raiz5

Resposta

As soluções da equação são x = \tfrac12 + \sqrt{5} e x = \tfrac12 - \sqrt{5}.

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