Encontre o volume do sólido de revolução obtido ao girar ao redor da reta y=-1 a região compreendida entre y=x^2 e y=raizx.

Passo 1

O exercício pede para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = -1, da região limitada pelas curvas y = x² e y = √x. O conteúdo envolve o método dos anéis (washers) para volumes de revolução e precisamos primeiro determinar os pontos de interseção dessas curvas.

Passo 2

Determine os pontos de interseção resolvendo x² = √x:
x^2 = x^1/2 implies x^1/2(x^3/2-1)=0 implies x=0 ou x=1
No intervalo [0,1], √x ≥ x², então a função superior é y = √x e a inferior é y = x².

Passo 3

Para aplicar o método dos anéis, a distância vertical de cada curva à reta y = -1 é:
  • raio externo: R(x) = [raizx - (-1)] = raizx + 1
  • raio interno: r(x) = [x^2 - (-1)] = x^2 + 1
    O volume é dado por 
V = pi integral0^1 l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx = pi integral0^1 l[(raizx+1)^2 - (x^2+1)^2r] ,dx

Passo 4

Expanda o integrando:
(raizx+1)^2 = x + 2raizx + 1, (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1
Então 
(raizx+1)^2 - (x^2+1)^2 = -x^4 - 2x^2 + x + 2raizx

Passo 5

Integre termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 -x^4 ,dx = -tfrac15, integral0^1 -2x^2 ,dx = -tfrac23,
integral0^1 x ,dx = tfrac12, integral0^1 2raizx ,dx = 2 cdot tfrac23 = tfrac43

Passo 6

Some os resultados:
-tfrac15 - tfrac23 + tfrac12 + tfrac43 = -tfrac15 + tfrac23 + tfrac12 = tfrac2930
Multiplicando por pi temos o volume final.

Resposta

29pi30

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