Mostre que se
é uma solução da equação
e
é uma solução da equação
então
é uma solução da equação
para qualquer constante
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas EDOs lineares de primeira ordem:
a) a homogênea
a) a homogênea
cuja solução genérica é dada por funções proporcionais a uma solução particular
;
b) a não homogênea
b) a não homogênea
que admite uma solução particular
.
Vamos usar a linearidade da derivada e da soma para mostrar que, adicionando uma combinação à solução particular
, obtemos outra solução da equação não homogênea.
Vamos usar a linearidade da derivada e da soma para mostrar que, adicionando uma combinação
Passo 2
Como
resolve a homogênea, temos
Como
resolve a não homogênea, temos
Passo 3
Definimos
onde
é constante. Então
Substituindo em
e usando linearidade, obtemos
Pela validade das equações de
e
, cada parêntese é zero, logo
Resposta
Portanto, para qualquer constante
, a função
é solução de