Mostre que se f(t) é uma solução da equação
y^{\prime}(t)+p(t) y(t)=0
e g(t) é uma solução da equação
y^{\prime}(t)+p(t) y(t)+q(t)=0
então c f(t)+g(t) é uma solução da equação
y^{\prime}(t)+p(t) y(t)+q(t)=0
para qualquer constante c.

Passo 1

O enunciado nos dá duas EDOs lineares de primeira ordem:
a) a homogênea
y'(t)+p(t)\,y(t)=0
cuja solução genérica é dada por funções proporcionais a uma solução particular f(t);
b) a não homogênea
y'(t)+p(t)\,y(t)+q(t)=0
que admite uma solução particular g(t).
Vamos usar a linearidade da derivada e da soma para mostrar que, adicionando uma combinação c\,f(t) à solução particular g(t), obtemos outra solução da equação não homogênea.

Passo 2

Como f(t) resolve a homogênea, temos
f'(t)+p(t)\,f(t)=0.
Como g(t) resolve a não homogênea, temos
g'(t)+p(t)\,g(t)+q(t)=0.

Passo 3

Definimos
y(t)=c\,f(t)+g(t),
onde c é constante. Então
y'(t)=c\,f'(t)+g'(t).
Substituindo em y'(t)+p(t)\,y(t)+q(t) e usando linearidade, obtemos
y'(t)+p(t)\,y(t)+q(t) = c\,f'(t)+g'(t)+p(t)\bigl(c\,f(t)+g(t)\bigr)+q(t) = c\bigl(f'(t)+p(t)\,f(t)\bigr)+\bigl(g'(t)+p(t)\,g(t)+q(t)\bigr).
Pela validade das equações de f e g, cada parêntese é zero, logo
y'(t)+p(t)\,y(t)+q(t)=0.

Resposta

Portanto, para qualquer constante c, a função y(t)=c\,f(t)+g(t) é solução de
y'(t)+p(t)\,y(t)+q(t)=0.

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