Use o item anterior para encontrar uma solução para os problemas de valores iniciais abaixo:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Cada PVI tem a forma
que é a equação de Bernoulli. A ideia é usar a substituição
pois daí
Depois disso obtemos uma eq. linear em
, resolvemos por fator integrante e voltamos a
.
Passo 2
Para o item (a) temos
Aqui
, logo
. Fazemos
De
substituímos na equação original dividida por
e obtemos
Passo 3
A equação linear em
é
O fator integrante é
Multiplicando por
vem
Integrando em
:
Assim
Passo 4
A condição
dá
. Então
logo
Passo 5
Voltando a
, lembrando que
, obtemos
Passo 6
Para o item (b) temos
Aqui
, então
. Fazemos
Substituindo leva a
Passo 7
A eq. linear em
é
O fator integrante é
Multiplicando por
vem
Integrando:
Passo 8
Em
,
implica
e
. Usando integral definida de
a
para fixar constante, obtemos
Passo 9
Finalmente
que é a solução implícita do PVI em (b).
Resposta
(a)
(b)