Use o item anterior para encontrar uma solução para os problemas de valores iniciais abaixo:
(a) y^{\prime}(t)+\frac{1}{t} y=(\cos t) y^{-2}, y(1)=1
(b) y^{\prime}+x^{2} y=\frac{1}{x} y^{4}, y(-1)=-2

Passo 1

Cada PVI tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n
que é a equação de Bernoulli. A ideia é usar a substituição
u = y^{1-n}
pois daí
u' = (1-n)\,y^{-n}\,y'.
Depois disso obtemos uma eq. linear em u, resolvemos por fator integrante e voltamos a y.

Passo 2

Para o item (a) temos
y'(t) + \frac1t\,y = (\cos t)\,y^{-2}.
Aqui n=-2, logo 1-n=3. Fazemos
u = y^3, \qquad u' = 3\,y^2\,y'.
De y' = u'/(3y^2) substituímos na equação original dividida por y^{-2} e obtemos
u' + 3\frac1t\,u = 3\cos t.

Passo 3

A equação linear em u é
u' + \frac{3}{t}\,u = 3\cos t.
O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\biggl(\int \frac{3}{t}\,dt\biggr) = t^3.
Multiplicando por t^3 vem
\frac{d}{dt}\bigl(t^3\,u\bigr) = 3\,t^3\cos t.
Integrando em t:
t^3\,u = \int 3\,t^3\cos t\,dt + C =3\bigl(t^3\sin t+3t^2\cos t-6t\sin t-6\cos t\bigr)+C.
Assim
u(t) =\frac{3t^3\sin t+9t^2\cos t-18t\sin t-18\cos t + C}{t^3}.

Passo 4

A condição y(1)=1 u(1)=1^3=1. Então
1 =\frac{3\sin1+9\cos1-18\sin1-18\cos1 + C}{1} \;=\;-15\sin1 -9\cos1 + C,
logo
C = 1 +15\sin1 +9\cos1.

Passo 5

Voltando a y, lembrando que u=y^3, obtemos
y(t) =\bigl[u(t)\bigr]^{\tfrac13} =\biggl[ \frac{3t^3\sin t+9t^2\cos t-18t\sin t-18\cos t + 1+15\sin1+9\cos1}{t^3} \biggr]^{\tfrac13}.

Passo 6

Para o item (b) temos
y' + x^2\,y = \frac1x\,y^4.
Aqui n=4, então 1-n=-3. Fazemos
u = y^{-3}, \qquad u' = -3\,y^{-4}\,y'.
Substituindo leva a
u' -3x^2\,u = -\frac{3}{x}.

Passo 7

A eq. linear em u é
u' -3x^2\,u = -\frac{3}{x}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\bigl(\!\int -3x^2\,dx\bigr)=e^{-x^3}.
Multiplicando por e^{-x^3} vem
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^3}u\bigr) =-3\,\frac{e^{-x^3}}{x}.
Integrando:
e^{-x^3}u = -3\int \frac{e^{-x^3}}{x}\,dx + C.

Passo 8

Em x=-1, y(-1)=-2 implica u(-1)=(-2)^{-3}=-\tfrac18 e e^{-(-1)^3}=e^1. Usando integral definida de -1 a x para fixar constante, obtemos
e^{-x^3}y^{-3}(x) = -3\int_{-1}^{\,x}\frac{e^{-t^3}}{t}\,dt \;-\;\frac{e}{8}.

Passo 9

Finalmente
y(x) =\biggl[ e^{\,x^3}\Bigl(-3\!\!\int_{-1}^{\,x}\!\frac{e^{-t^3}}{t}\,dt - \frac{e}{8}\Bigr) \biggr]^{-\tfrac13},
que é a solução implícita do PVI em (b).

Resposta

(a)
y(t) =\biggl[ \frac{3t^3\sin t+9t^2\cos t-18t\sin t-18\cos t + 1+15\sin1+9\cos1}{t^3} \biggr]^{\tfrac13}.
(b)
y(x) =\biggl[ e^{\,x^3}\Bigl(-3\!\!\int_{-1}^{\,x}\!\frac{e^{-t^3}}{t}\,dt - \tfrac{e}{8}\Bigr) \biggr]^{-\tfrac13}.

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