Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de
ordem
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é método da equação característica. Vamos usar a suposição de soluções da forma
para encontrar as soluções fundamentais e então escrever a solução geral.
Passo 2
Formação da equação característica: substituindo
e suas derivadas na EDO, obtemos
Como
, podemos dividir por ele e ficar com
Passo 3
Resolvendo a equação característica: dividimos por 2 para simplificar
O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 4
Cálculo das raízes complexas: aplicando a fórmula de Bhaskara
Logo
e
. Pela teoria, as soluções fundamentais reais são
Passo 5
Escrevendo a solução geral: como as soluções fundamentais são
e
, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
As soluções fundamentais são
A solução geral é