Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
2 y^prime prime(t)-8 y^prime(t)+18 y(t)=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y''(t)-8y'(t)+18y(t)=0
O conteúdo é método da equação característica. Vamos usar a suposição de soluções da forma y(t)=e^rt para encontrar as soluções fundamentais e então escrever a solução geral.

Passo 2

Formação da equação característica: substituindo y(t)=e^rt e suas derivadas na EDO, obtemos
2r^2e^rt-8re^rt+18e^rt=0
Como e^rtneq0, podemos dividir por ele e ficar com
2r^2-8r+18=0

Passo 3

Resolvendo a equação característica: dividimos por 2 para simplificar
r^2-4r+9=0
O discriminante é
De
Como De, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 4

Cálculo das raízes complexas: aplicando a fórmula de Bhaskara
r = 4 pm raiz-202 = 4 pm iraiz202 = 2 pm iraiz5
Logo alpha=2 e beta=raiz5. Pela teoria, as soluções fundamentais reais são
varphi1(t)=e^alpha tcos(beta t)=e^2tcos(raiz5t)
varphi2(t)=e^alpha tsin(beta t)=e^2tsin(raiz5t)

Passo 5

Escrevendo a solução geral: como as soluções fundamentais são varphi1(t) e varphi2(t), a solução geral da EDO é
y(t)=C1,e^2tcos(raiz5t)+C2,e^2tsin(raiz5t)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

As soluções fundamentais são
e^2tcos(raiz5t) e e^2tsin(raiz5t).
A solução geral é
y(t)=C1,e^2tcos(raiz5t)+C2,e^2tsin(raiz5t).

Exercícios relacionados