Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
4 y^prime prime(t)-4 y^prime(t)+y(t)=0

Passo 1

Temos a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
4 y’’(t) - 4 y’(t) + y(t) = 0
O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t) = e^{r t}. Substituindo na EDO obtemos a equação característica:
4r^2 - 4r + 1 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação característica:
De
Como De, temos raiz dupla.

Passo 4

A raiz dupla é
r = 42cdot4 = 12
Para raiz de multiplicidade 2, as soluções fundamentais são
y1(t) = e^(1/2)t,
y2(t) = t,e^(1/2)t

Passo 5

A solução geral da EDO é combinação linear das soluções fundamentais:
y(t) = C1 e^t/2 + C2,t,e^t/2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

As soluções fundamentais são y_1(t)=e^{t/2} e y_2(t)=t e^{t/2}. A solução geral é y(t)=C_1 e^{t/2} + C_2 t e^{t/2}.

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