Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)-6 y^prime(t)+5 y(t)=0

Passo 1

Temos a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O enunciado pede para encontrar as soluções fundamentais e a solução geral da equação
y''(t)-6y'(t)+5y(t)=0
Vamos precisar usar o método da equação característica para EDOs dessa forma.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, trocando y(t) por e^lambda t. Isso nos dá:
lambda^2 -6lambda +5=0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 -6lambda +5=0. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara:
lambda^2 -6lambda +5=(lambda-1)(lambda-5)=0,
portanto as raízes são lambda1=1 e lambda2=5.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, as soluções fundamentais são
y1(t)=e^lambda1 t=e^t,
y2(t)=e^lambda2 t=e^5t
Então a solução geral é combinação linear dessas soluções fundamentais.

Resposta

As soluções fundamentais são y1(t)=e^t e y2(t)=e^5t. A solução geral da EDO é
y(t)=C1e^t+C2e^5t,
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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