Calcule, se existirem, os limites abaixo.
(e) lim (x, y) (0,0) x|x|+|y|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x|x|+|y|.
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, especificamente usando conceitos de análise de limites no plano. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos. Isso vai nos ajudar a determinar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função x|x| + |y| faz perto de (0,0). Os valores absolutos |x| e |y| garantem que o denominador seja sempre positivo, a menos que ambos x e y sejam zero, o que não é o caso aqui.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se conseguimos valores diferentes, o que indicaria que o limite geral não existe.
Caminho 1: y = 0
Substituindo y = 0 na função:
x|x| + 0 = x|x|
Aqui, x|x| é igual a:
  • 1 se x > 0
  • -1 se x < 0
Então, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo x, o limite depende do lado por onde viemos:
limx to 0^+ x|x| = 1 e limx to 0^- x|x| = -1
Caminho 2: y = kx onde k é uma constante
Substituindo y = kx na função:
x|x| + |k x| = x|x| (1 + |k|) = x|x| cdot 11 + |k|
Então, similar ao Caminho 1, x|x| será 1 ou -1 dependendo do sinal de x, mas agora multiplicado por 11 + |k|, que é uma constante positiva. Portanto, o limite ainda depende do lado por onde viemos em relação ao eixo x:
limx to 0 x|x| + |k x| = 11 + |k| se x > 0
limx to 0 x|x| + |k x| = -11 + |k| se x < 0

Resposta

Como obtemos limites diferentes ao abordar (0,0) por caminhos distintos (por exemplo, y = 0 resulta em 1 ou -1), concluímos que o limite lim (x, y) (0,0) x|x|+|y| não existe.

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