Calcule, se existirem, os limites abaixo.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
.
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, especificamente usando conceitos de análise de limites no plano. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Isso vai nos ajudar a determinar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
faz perto de
. Os valores absolutos
e
garantem que o denominador seja sempre positivo, a menos que ambos
e
sejam zero, o que não é o caso aqui.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se conseguimos valores diferentes, o que indicaria que o limite geral não existe.
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Aqui,
é igual a:
-
se -
se
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite depende do lado por onde viemos:
Caminho 2:
onde
é uma constante
Substituindo
na função:
Então, similar ao Caminho 1,
será
ou
dependendo do sinal de
, mas agora multiplicado por
, que é uma constante positiva. Portanto, o limite ainda depende do lado por onde viemos em relação ao eixo
:
Resposta
Como obtemos limites diferentes ao abordar
por caminhos distintos (por exemplo,
resulta em
ou
), concluímos que o limite
não existe.