Encontre as soluções fundamentais
, apenas para
, da equação de Laplace no retângulo
, que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
O problema é resolver
no retângulo
com as condições de contorno
Vamos encontrar as soluções separadas (modos) para
, satisfazendo as condições homogêneas em
e em
.
Passo 2
Assumimos separação de variáveis
Substituindo na equação de Laplace obtemos
Dividindo por
dá
logo cada termo é igual a uma constante
:
Passo 3
A equação para
e as condições de contorno em
são
Isso é um problema de Neumann em
. Os autovalores são
e os autovetores correspondentes (não nulos) para
são
Passo 4
Para cada
a equação para
é
com condição
. A solução geral é
Como
implica
, resta
Passo 5
Os modos (soluções fundamentais) não normalizados para
são