Encontre as soluções fundamentais u_{n}(x, y), apenas para \lambda>0, da equação de Laplace no retângulo 0<x<a, 0<y<b, que satisfaz as condições de contorno
\begin{array}{ccc} u_{x}(0, y)=0, & u_{x}(a, y)=f(y), & 0<y<b ; \\\ u_{y}(x, 0)=0, & u_{y}(x, b)=0, & 0<x<a . \end{array}

Passo 1

O problema é resolver
u_{xx}(x,y) + u_{yy}(x,y) = 0
no retângulo 0<x<a,\;0<y<b com as condições de contorno
u_x(0,y)=0,\quad u_x(a,y)=f(y),\quad 0<y<b,
u_y(x,0)=0,\quad u_y(x,b)=0,\quad 0<x<a.
Vamos encontrar as soluções separadas (modos) para \lambda>0, satisfazendo as condições homogêneas em y e em x=0.

Passo 2

Assumimos separação de variáveis
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)\,Y(y) + X(x)\,Y''(y) = 0.
Dividindo por X(x)Y(y)
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0,
logo cada termo é igual a uma constante \lambda:
\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda,\qquad \frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda.

Passo 3

A equação para Y(y) e as condições de contorno em y são
Y''(y) + \lambda\,Y(y) = 0,
Y'(0)=0,\quad Y'(b)=0.
Isso é um problema de Neumann em [0,b]. Os autovalores são
\lambda_n = \Bigl(\frac{n\pi}{b}\Bigr)^{2},\quad n=0,1,2,\dots
e os autovetores correspondentes (não nulos) para n\ge1 são
Y_n(y) = \cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,y\Bigr).

Passo 4

Para cada n\ge1 a equação para X(x) é
X''(x) - \Bigl(\frac{n\pi}{b}\Bigr)^{2} X(x) = 0
com condição X'(0)=0. A solução geral é
X(x) = A_n \operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,x\Bigr) + B_n \operatorname{sinh}\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,x\Bigr).
Como X'(0)=0 implica B_n=0, resta
X_n(x) = \operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,x\Bigr).

Passo 5

Os modos (soluções fundamentais) não normalizados para \lambda_n>0 são
u_n(x,y) = X_n(x)\,Y_n(y) = \operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,x\Bigr)\;\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,y\Bigr), \quad n=1,2,3,\dots

Resposta

u_n(x,y) = \operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,x\Bigr)\,\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{b}\,y\Bigr), \quad n=1,2,3,\dots

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