Resolva as equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - \frac{y’}{x} = x $. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, como a redução de ordem e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação reduzindo a ordem. Vamos definir uma nova função $ z $ tal que $ z = y’ $. Assim, a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $ fica $ y’’ = z’ $. Substituindo na equação original, temos:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ z $.
Passo 3
Para resolver a equação $ z’ - \frac{z}{x} = x $, vamos achar um fator integrante. A forma padrão é $ z’ + P(x)z = Q(x) $, onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x $. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
O que resulta em:
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
Passo 5
Lembrando que $ z = y’ $, agora temos:
Para encontrar $ y $, integramos novamente em relação a $ x $:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.