Resolva as equações abaixo.
y^prime prime-y^primex=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - \frac{y’}{x} = x $. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, como a redução de ordem e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação reduzindo a ordem. Vamos definir uma nova função $ z $ tal que $ z = y’ $. Assim, a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $ fica $ y’’ = z’ $. Substituindo na equação original, temos:
z
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ z $.

Passo 3

Para resolver a equação $ z’ - \frac{z}{x} = x $, vamos achar um fator integrante. A forma padrão é $ z’ + P(x)z = Q(x) $, onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x $. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
z' - zx = x
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
z' + P(x)z = Q(x)
Isso simplifica para:
P(x) = -1x

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
O que resulta em:
integral ddx( zx ) dx = integral 1 , dx
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
zx = x + C1

Passo 5

Lembrando que $ z = y’ $, agora temos:
z = y'
Para encontrar $ y $, integramos novamente em relação a $ x $:
y' = x^2 + C1 x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = x^33 + C1 x^22 + C2
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados