Encontre as soluções gerais das Equações Diferenciais.
d vd x-2x v=23 x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
dvdx - 2x v = 23 x^4
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear:
dvdx + P(x) v = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
P(x) = -2x e Q(x) = 23 x^4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o Fator Integrante ( mu(x)). Esse fator é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -2x dx = e^-2 ln|x| = |x|^-2
Como x é positivo no nosso contexto, podemos simplificar para:
mu(x) = x^-2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo Fator Integrante que encontramos:
x^-2 cdot dvdx - x^-2 cdot 2x v = x^-2 cdot 23 x^4
Simplificando:
x^-2 dvdx - 2x^3 v = 23 x^2

Passo 5

A boa notícia é que, após multiplicar pelo fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto mu(x) cdot v:
ddx ( x^-2 v ) = 23 x^2

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( x^-2 v ) dx = integral 23 x^2 dx
Isso resulta em:
x^-2 v = 29 x^3 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos v para obter a solução geral da equação:
v = x^2 ( 29 x^3 + C ) = 29 x^5 + C x^2

Resposta

As soluções gerais da equação diferencial são:
v(x) = 29 x^5 + C x^2

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