Prove o Teorema do Homomorfismo (Teorema de Isomorfismo para Grupos)
Seja
um homomorfismo de grupos, com núcleo
e imagem
. Então,
isto é, o grupo quociente
é isomorfo à imagem de
.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá um homomorfismo de grupos
, define o núcleo
e a imagem
. Queremos provar que o grupo quociente
é isomorfo a
. Para isso vamos usar os conceitos de subgrupo normal, grupo quociente e a construção de um mapa bem-definido entre eles.
Passo 2
Antes de tudo observa que
é um subgrupo normal de
. Isso ocorre porque, para qualquer
e
, temos
o que mostra que
. Logo, podemos formar o grupo quociente
.
Passo 3
Agora definimos o candidato a isomorfismo:
A ideia é enviar cada classe de coset
ao elemento
em
, que de fato está em
.
Passo 4
Precisamos primeiro checar que
está bem-definido: se
então
, o que implica
portanto
e
.
Passo 5
Em seguida, mostramos que
é homomorfismo:
Passo 6
Para a sobrejetividade, note que dado qualquer
, existe
com
. Então
, logo
é sobrejetora.
Passo 7
Para a injetividade, considere o núcleo de
:
o que mostra que apenas a classe neutra cai em
, logo
é injetora.
Passo 8
Como
é bijetora e homomorfismo, concluímos que é um isomorfismo de grupos, estabelecendo
Resposta
O isomorfismo
dado por
é bijetivo e homomorfismo, logo
.