Prove o Teorema do Homomorfismo (Teorema de Isomorfismo para Grupos)
Seja f: G G^prime um homomorfismo de grupos, com núcleo ker(f) subseteq G e imagem Im(f) subseteq G^prime. Então,
G / ker(f) cong Im(f)
isto é, o grupo quociente G / ker(f) é isomorfo à imagem de f.

Passo 1

O enunciado nos dá um homomorfismo de grupos f: G to G', define o núcleo ker(f)=gin Gmid f(g)=e' e a imagem Im(f)=f(G). Queremos provar que o grupo quociente G/ker(f) é isomorfo a Im(f). Para isso vamos usar os conceitos de subgrupo normal, grupo quociente e a construção de um mapa bem-definido entre eles.

Passo 2

Antes de tudo observa que ker(f) é um subgrupo normal de G. Isso ocorre porque, para qualquer gin G e kinker(f), temos
f(gkg^-1) = f(g)f(k)f(g)^-1 = f(g)e' f(g)^-1 = e',
o que mostra que gkg^-1inker(f). Logo, podemos formar o grupo quociente G/ker(f).

Passo 3

Agora definimos o candidato a isomorfismo:
Psi:;G/ker(f);longrightarrow;Im(f), Psil(g,ker(f)r)=f(g)
A ideia é enviar cada classe de coset gker(f) ao elemento f(g) em G', que de fato está em Im(f).

Passo 4

Precisamos primeiro checar que Psi está bem-definido: se gker(f)=g'ker(f) então g^-1g'inker(f), o que implica
f(g)^-1f(g')=f(g^-1g')=e',
portanto f(g)=f(g') e Psil(gker(f)r)=Psil(g'ker(f)r).

Passo 5

Em seguida, mostramos que Psi é homomorfismo:
Psil((gker(f))cdot(hker(f))r) = Psil(gh,ker(f)r) = f(gh) = f(g)f(h) = Psi(gker(f)),Psi(hker(f))

Passo 6

Para a sobrejetividade, note que dado qualquer yinIm(f), existe gin G com y=f(g). Então Psi(gker(f))=y, logo Psi é sobrejetora.

Passo 7

Para a injetividade, considere o núcleo de Psi:
ker(Psi)=gker(f)mid Psi(gker(f))=e' =gker(f)mid f(g)=e' =gker(f)mid ginker(f) =ker(f),
o que mostra que apenas a classe neutra cai em e', logo Psi é injetora.

Passo 8

Como Psi é bijetora e homomorfismo, concluímos que é um isomorfismo de grupos, estabelecendo
G/ker(f)congIm(f)

Resposta

O isomorfismo Psi: G/ker(f)toIm(f) dado por Psi(g,ker(f))=f(g) é bijetivo e homomorfismo, logo G/ker(f)congIm(f).

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