Use o Teorema do Homomorfismo para descrever
como o quociente de
pelo seu núcleo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema do Homomorfismo para descrever o conjunto $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ como o quociente de $ \mathbb{Z} $ pelo seu núcleo. Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Grupos, especificamente lidando com homomorfismos e estruturas de grupos quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de grupos, o que significa o núcleo desse homomorfismo e como aplicar o Teorema do Homomorfismo para fazer essa descrição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. Ou seja, se temos um homomorfismo $ \phi: G \to H $, para quaisquer elementos $ a, b $ em $ G $, temos:
onde $ \cdot $ é a operação em $ G $ e $ * $ a operação em $ H $.
Passo 3
Agora, o núcleo de um homomorfismo $ \phi $ é o conjunto de todos os elementos de $ G $ que são mapeados para o elemento neutro de $ H $. Formalmente:
Esse núcleo é, na verdade, um subgrupo normal de $ G $.
Passo 4
O Teorema do Homomorfismo (também conhecido como Teorema Fundamental dos Homomorfismos) nos diz que se $ \phi: G \to H $ é um homomorfismo de grupos, então o quociente $ G/Ker(\phi) $ é isomorfo à imagem de $ \phi $, ou seja:
Isso nos permite relacionar o grupo quociente com a imagem do homomorfismo.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, queremos descrever $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $. Vamos definir um homomorfismo $ \phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ da seguinte maneira:
Esse é o homomorfismo canônico que mapeia cada inteiro $ k $ para sua classe de congruência módulo $ n $.
Passo 6
Agora, vamos identificar o núcleo desse homomorfismo $ \phi $:
Portanto, o núcleo de $ \phi $ é o conjunto de todos os múltiplos de $ n $.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Homomorfismo, temos que:
Mas a imagem de $ \phi $ é exatamente $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $, já que cada classe de congruência módulo $ n $ é alcançada por algum inteiro $ k $.
Passo 8
Assim, concluímos que $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ é isomorfo ao quociente de $ \mathbb{Z} $ pelo seu núcleo $ n\mathbb{Z} $ através do homomorfismo $ \phi $.
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Homomorfismo, temos que:
O que confirma que $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ pode ser descrito como o quociente de $ \mathbb{Z} $ pelo seu núcleo $ n\mathbb{Z} $.