Encontre soluçōes gerais para as equaçōes diferenciais seguintes. Observe que y^{\prime} denota derivada com relação a x .
y^{\prime}=y+y^{3}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de separação de variáveis
y' = y + y^3,
onde y'=dy/dx. Vamos reconhecer que é uma EDO separável e que precisaremos integrar
\frac{dy}{y(1+y^2)} = dx.

Passo 2

Fazendo a separação de variáveis, escrevemos
\frac{dy}{y(1+y^2)} = dx.
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
\frac{1}{y(1+y^2)} = \frac{1}{y} - \frac{y}{1+y^2}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{y}{1+y^2}\Bigr)dy = \int dx.
Calculando as integrais, obtemos
\int\frac{1}{y}\,dy = \ln|y|, \quad \int\frac{y}{1+y^2}\,dy = \tfrac12\ln(1+y^2),
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\ln|y| - \tfrac12\ln(1+y^2) = x + C_1.

Passo 4

Reescrevendo em forma exponencial, temos
\ln\!\Bigl(\frac{y^2}{1+y^2}\Bigr) = 2x + C_2,
onde C_2=2C_1. Assim
\frac{y^2}{1+y^2} = C\,e^{2x},
com C=e^{C_2}. Isolando y^2:
y^2\bigl(1 - C\,e^{2x}\bigr) = C\,e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{C\,e^{2x}}{1 - C\,e^{2x}}.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
\ln\!\Bigl(\frac{y^2}{1+y^2}\Bigr) = 2x + C,
ou explicitamente por
y(x) = \pm \sqrt{\frac{C\,e^{2x}}{1 - C\,e^{2x}}},
onde C é uma constante arbitrária de integração.

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