Encontre soluçōes gerais para as equaçōes diferenciais seguintes. Observe que
denota derivada com relação a x .
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo aqui é a técnica de substituição para transformar em uma equação linear: vamos usar a mudança de variável
Passo 2
Definimos
Com isso expressamos
em função de
e
.
Passo 3
Agora calculamos
em termos de
e
. Como
usamos a regra do produto e do quociente:
Multiplicando por
, temos
Passo 4
Substituímos na equação original:
Passando o termo
para o outro lado:
Dividindo por
(supondo
):
Essa é uma equação linear em
.
Passo 5
Escrevemos
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integrando:
Passo 6
Voltando à variável
, lembramos que
, logo
Além disso,
dá a solução trivial
.
Resposta
A solução geral não trivial é
e há também a solução trivial