Encontre soluçōes gerais para as equaçōes diferenciais seguintes. Observe que y^{\prime} denota derivada com relação a x .
x y^{\prime}=y+2(x y)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x\,y'=y+2\sqrt{x\,y}.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição para transformar em uma equação linear: vamos usar a mudança de variável
u = \sqrt{x\,y}.

Passo 2

Definimos
u = \sqrt{x\,y} \quad\Longrightarrow\quad u^2 = x\,y \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{u^2}{x}.
Com isso expressamos y em função de u e x.

Passo 3

Agora calculamos y' em termos de u e u'. Como
y = u^2\,x^{-1},
usamos a regra do produto e do quociente:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(u^2\bigr)\,x^{-1} + u^2\,\frac{d}{dx}(x^{-1}) = \frac{2u\,u'}{x} - \frac{u^2}{x^2}.
Multiplicando por x, temos
x\,y' = 2u\,u' - \frac{u^2}{x}.

Passo 4

Substituímos na equação original:
2u\,u' - \frac{u^2}{x} = y + 2\sqrt{x\,y} = \frac{u^2}{x} + 2u.
Passando o termo \frac{u^2}{x} para o outro lado:
2u\,u' = \frac{u^2}{x} + 2u + \frac{u^2}{x} = 2u\Bigl(\frac{u}{x}+1\Bigr).
Dividindo por 2u (supondo u\neq0):
u' = \frac{u}{x} + 1.
Essa é uma equação linear em u.

Passo 5

Escrevemos
u' - \frac{1}{x}\,u = 1.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(-\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr) = x^{-1}.
Multiplicando a equação por x^{-1}:
\frac{u'}{x} - \frac{u}{x^2} = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{x}\Bigr) = \frac{1}{x}.
Integrando:
\frac{u}{x} = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad u = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

Passo 6

Voltando à variável y, lembramos que u^2 = x\,y, logo
y = \frac{u^2}{x} = \frac{\bigl[x(\ln\lvert x\rvert + C)\bigr]^2}{x} = x\,\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr)^2.
Além disso, u=0 dá a solução trivial y\equiv0.

Resposta

A solução geral não trivial é
\boxed{y(x) = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr)^2,\quad C\in\mathbb{R}},
e há também a solução trivial
\boxed{y(x)\equiv0}.

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