Encontre as soluçōes gerais das equaçōes dadas.
y^{\prime}=\frac{y-4 x}{x-y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = \frac{y - 4x}{\,x - y\,}
e pede a solução geral. Note que o lado direito é homogêneo de grau zero em x,y, então vamos usar a substituição
y = u\,x,
onde u é função de x. Assim reconhecemos que se trata de um problema de equação homogênea.

Passo 2

Com y = u x temos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação original:
u + x\frac{du}{dx} = \frac{u x - 4x}{\,x - u x\,} = \frac{x(u - 4)}{\,x(1 - u)\,} = \frac{u - 4}{\,1 - u\,}.
Isolando x\,du/dx:
x\frac{du}{dx} = \frac{u - 4}{1 - u} - u = \frac{u - 4 - u(1 - u)}{1 - u} = \frac{u^2 - 4}{\,1 - u\,}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{1 - u}{\,u^2 - 4\,}\,du = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em \displaystyle\frac{1 - u}{u^2 - 4}. Como
\frac{1 - u}{(u-2)(u+2)} = \frac{A}{u - 2} + \frac{B}{u + 2},
resolvemos
A + B = -1, \qquad 2A - 2B = 1
e obtemos A = -\tfrac14, B = -\tfrac34. Logo
\int\frac{1 - u}{u^2 - 4}\,du = -\frac14\ln\bigl|u - 2\bigr| -\frac34\ln\bigl|u + 2\bigr| + C_1.
À direita,
\displaystyle\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2. Reunindo constantes em C, obtemos
-\ln\bigl|u - 2\bigr| -3\,\ln\bigl|u + 2\bigr| =4\,\ln|x| + C.

Passo 5

Voltando a u = y/x, escrevemos implicitamente:
\ln\!\bigl|(u - 2)(u + 2)^3\bigr| = -4\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad (u - 2)(u + 2)^3 = K\,x^{-4},
onde K=e^{C} é constante arbitrária. Substituindo u=y/x:
\biggl(\frac{y}{x}-2\biggr) \biggl(\frac{y}{x}+2\biggr)^{3} =K\,x^{-4} \quad\Longrightarrow\quad (y-2x)(y+2x)^3 = C,
com C constante geral.

Resposta

(y - 2x)\,(y + 2x)^3 = C,
onde C é a constante de integração.

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