Encontre as soluções gerais das equações diferenciais seguintes.
y^prime prime+2 y^prime-15 y=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções gerais da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 15y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Associamos à equação diferencial a equação característica, trocando ymapsto e^rx:
r^2 + 2r - 15 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante e as raízes de r^2 + 2r - 15 = 0:
De<a = 2^2 - 4cdot 1 cdot(-15) = 4 + 60 = 64,
r = -2 pm raiz642 = -2 pm 82 Longrightarrow r1 = 3,;r2 = -5

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^3x + C2 e^-5x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-5x

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