Determine, considerando , a solução geral de:
constante.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^2y'' + x,y' - p^2y = 0, x>0, p constante
Este tipo de equação é conhecida como equação de Euler–Cauchy. Para resolvê-la, vamos usar a substituição clássica y = x^r.

Passo 2

Supondo
,y = x^r, temos
,y' = r,x^r-1 e ,y'' = r(r-1),x^r-2.
Substituindo na equação:
x^2l[r(r-1)x^r-2r] + xl[r,x^r-1r] - p^2l[x^rr] = l[r(r-1)+r - p^2r],x^r = l[r^2-p^2r],x^r

Passo 3

Como x>0 implica x^rneq0, o coeficiente deve ser zero:
r^2-p^2=0 Longrightarrow r = pm p

Passo 4

Para pneq0 as raízes são distintas ( p e -p), logo a solução geral é
y(x) = C1,x^,p + C2,x^-p

Passo 5

No caso especial p=0, a equação vira
x^2y'' + x,y' = 0
com raiz dupla r=0. A solução geral desse caso é
y(x) = C1 + C2,ln(x)

Resposta

Para pneq0:
y(x) = C1,x^,p + C2,x^-p, x>0
Para p=0:
y(x) = C1 + C2,ln(x)

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