Encontre a derivada da funciō dada
a. f(x)=(1+cos 3 x^2)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = l(1 + cos(3x^2)r)^4. Aqui vamos usar a regra da cadeia para funções compostas, além da derivada de cos e da derivada de um polinômio simples.

Passo 2

Identificamos duas camadas de composição:
u(x) = 1 + cos(3x^2)
f(x) = [u(x)]^4
Pela regra da cadeia,
f'(x) = 4,[u(x)]^3 cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x) = 1 + cos(v) com v = 3x^2, temos
ddxcos(v) = -sin(v),v' e v' = ddx(3x^2) = 6x
Logo,
u'(x) = 0 + l(-sin(3x^2)r)cdot 6x = -6x,sinl(3x^2r)

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x):
f'(x) = 4l(1 + cos(3x^2)r)^3 cdot l(-6x,sin(3x^2)r) = -24,x,l(1 + cos(3x^2)r)^3sin(3x^2)

Resposta

f'(x) = -24,x,l(1 + cos(3x^2)r)^3sin(3x^2)

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