Se
é homogênea de grau
, mostre que
Passo 1
O enunciado afirma que
é homogênea de grau
, isto é, ela satisfaz
para todo
. Queremos mostrar que a derivada parcial em relação a
, que chamamos de
, é homogênea de grau
, isto é,
Vamos usar o Teorema de Euler para funções homogêneas e a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Partimos da definição de homogeneidade:
Agora vamos diferenciar essa identidade em relação a
, tratando
como constante.
Passo 3
Pela regra da cadeia,
onde
é a derivada parcial de
em relação a
.
Por outro lado, derivando o lado direito,
Por outro lado, derivando o lado direito,
Passo 4
Igualando as duas expressões, obtemos
Bastando isolar
temos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.