Se f é homogênea de grau n, mostre que
f1(t x, t y)=t^n-1 f1(x, y)

Passo 1

O enunciado afirma que f(x,y) é homogênea de grau n, isto é, ela satisfaz
f(t x,t y)=t^n,f(x,y)
para todo t>0. Queremos mostrar que a derivada parcial em relação a x, que chamamos de f1(x,y)=partial f/partial x, é homogênea de grau n-1, isto é,
f1(t x,t y)=t^n-1f1(x,y)
Vamos usar o Teorema de Euler para funções homogêneas e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Partimos da definição de homogeneidade:
f(t x,t y)=t^nf(x,y)
Agora vamos diferenciar essa identidade em relação a x, tratando t como constante.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
partialpartial xf(t x,t y) = f1(t x,t y),partial (t x)partial x +f2(t x,t y),partial (t y)partial x = t,f1(t x,t y),
onde f2 é a derivada parcial de f em relação a y.
Por outro lado, derivando o lado direito,
partialpartial xl(t^nf(x,y)r) = t^n,partial f(x,y)partial x = t^nf1(x,y)

Passo 4

Igualando as duas expressões, obtemos
t,f1(t x,t y)=t^nf1(x,y)
Bastando isolar f1(t x,t y) temos
f1(t x,t y)=t^n-1f1(x,y),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

f1(t x,t y)=t^n-1f1(x,y)

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