Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
x^3 d^3 yd x^3+6 x^2 d^2 yd x^2+7 x d yd x+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^3d^3ydx^3 + 6x^2d^2ydx^2 + 7xdydx + y = 0
O conteúdo aqui é reconhecer que se trata de uma equação de ordem 3 com coeficientes polinomiais em x, e a técnica padrão é usar a ansatz
y(x)=x^r,
o que leva a um polinômio característico para r.

Passo 2

Assumindo y=x^r, temos
dydx=r,x^r-1, d^2ydx^2=r(r-1),x^r-2, d^3ydx^3=r(r-1)(r-2),x^r-3
Substituindo na equação original:
x^3l[r(r-1)(r-2)x^r-3r] +6x^2l[r(r-1)x^r-2r] +7xl[r,x^r-1r] + x^r = 0,
que simplifica em todos os termos para x^r, resultando no polinômio característico
r(r-1)(r-2) + 6,r(r-1) + 7,r + 1 = 0

Passo 3

Expandindo o polinômio:
r(r-1)(r-2) = r^3 - 3r^2 + 2r, 6r(r-1) = 6r^2 - 6r,
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r^3-3r^2+2r + 6r^2-6r + 7r + 1 = r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0
Reconhecemos que
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = (r+1)^3,
portanto a raiz é
r = -1
com multiplicidade 3.

Passo 4

Quando a raiz r=-1 é tripla, a forma geral da solução da equação de Euler–Cauchy é
y(x) = C1,x^r + C2,x^rln(x) + C3,x^rl(ln(x)r)^2,
com r=-1. Substituindo:

Resposta

boxedy(x) = C1,x^-1 ;+; C2,x^-1ln(x);+; C3,x^-1l(ln(x)r)^2
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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