Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
O conteúdo aqui é reconhecer que se trata de uma equação de ordem 3 com coeficientes polinomiais em
, e a técnica padrão é usar a ansatz
o que leva a um polinômio característico para
.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo na equação original:
que simplifica em todos os termos para
, resultando no polinômio característico
Passo 3
Expandindo o polinômio:
logo
Reconhecemos que
portanto a raiz é
com multiplicidade 3.
Passo 4
Quando a raiz
é tripla, a forma geral da solução da equação de Euler–Cauchy é
com
. Substituindo:
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.