Seja P o pentágono em R^2 cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são (0,0) (1,0) (100,2) (68,4) (0,3)

Calcule

12 integralP-y d x+x d y
square

Passo 1

O enunciado dá um pentágono P cujos vértices, em sentido anti-horário, são (0,0), (1,0), (100,2), (68,4), (0,3). Pede para calcular
12integralP -y,dx + x,dy.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para a curva fechada C que percorre P em orientação positiva, vale
ointC (-y,dx + x,dy) ;=; 2integral duplaD dA ;=; 2,Área(D), Á
onde D é a região interna a C. Portanto
12ointC (-y,dx + x,dy) ;=; Área(D) Á

Passo 3

Para achar Área(D)Á usamos a fórmula do polígono (shoelace). Se os vértices são (xi,yi) para i=1,dots,n e (xn+1,yn+1)=(x1,y1), então
Área ;=; 12gl|sumi=1^n xi,yi+1 ;-;sumi=1^n yi,xi+1gr| Á

Passo 4

Listando e fechando os vértices:
(0,0)to(1,0)to(100,2)to(68,4)to(0,3)to(0,0).
Calculamos
sum xi,yi+1 =0cdot0 + 1cdot2 + 100cdot4 + 68cdot3 + 0cdot0 =606,
sum yi,xi+1 =0cdot1 + 0cdot100 + 2cdot68 + 4cdot0 + 3cdot0 =136
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Área = 12,(606-136) = 235 Á

Resposta

235

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