Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
x^3 y^(3)-x^2 y^prime prime+x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy de terceira ordem
x^3y^(3) - x^2y'' + x,y' = 0
Para esse tipo de equação, usamos o método de Euler, que consiste em tentar uma solução da forma
y = x^m
e reduzir a equação diferencial a uma equação algébrica para m.

Passo 2

Supondo
y = x^m,
temos
y' = m,x^m-1,
y'' = m(m-1),x^m-2,
y^(3) = m(m-1)(m-2),x^m-3
Substituindo na equação original:
x^3l[m(m-1)(m-2)x^m-3r] - x^2l[m(m-1)x^m-2r] + xl[m,x^m-1r] = 0

Passo 3

Fatorando x^m (que não é zero para xneq0) obtemos a equação característica
m(m-1)(m-2) ;-; m(m-1) ;+; m ;=;0
Agrupando os termos em m:
ml[(m-1)(m-2)-(m-1)+1r] = ml[m^2-4m+4r] = m,(m-2)^2 = 0

Passo 4

As raízes da equação característica são
m=0 e m=2(raiz dupla)

Passo 5

Para cada raiz simples m1 temos uma solução x^m1. Para a raiz dupla m2 acrescentamos uma solução com fator ln x. Assim a solução geral é
y(x) = C1,x^0 ;+; C2,x^2 ;+; C3,x^2ln x,
isto é
y(x) = C1 + C2,x^2 + C3,x^2ln x,
válida para x>0.

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2,x^2 + C3,x^2ln x

Exercícios relacionados