Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy de terceira ordem
Para esse tipo de equação, usamos o método de Euler, que consiste em tentar uma solução da forma
e reduzir a equação diferencial a uma equação algébrica para .
e reduzir a equação diferencial a uma equação algébrica para
Passo 2
Supondo
,
temos
Substituindo na equação original:
temos
Substituindo na equação original:
Passo 3
Fatorando
(que não é zero para
) obtemos a equação característica
Agrupando os termos em
:
Passo 4
As raízes da equação característica são
Passo 5
Para cada raiz simples
temos uma solução
. Para a raiz dupla
acrescentamos uma solução com fator
. Assim a solução geral é
isto é
válida para
.