Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
y^prime prime+2 y^prime+y=(x+1) e^x

Passo 1

Neste exercício, queremos achar a solução geral da equação não homogênea y'' + 2y' + y = (x+1)e^x. O conteúdo envolve EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos obter a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y'' + 2y' + y = 0. Montando a equação característica, temos
r^2 + 2r + 1 = 0
Essa é uma equação com raiz dupla r = -1. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para y'' + 2y' + y = (x+1)e^x pelo método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 vezes e^x, tentamos
yp(x) = (a x + b)e^x,
onde a e b são constantes a serem encontradas.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp = (a x + b)e^x,
yp' = (a x + b + a)e^x,
yp'' = (a x + b + 2a)e^x
Substituindo em y'' + 2y' + y obtemos
yp'' + 2yp' + yp = (4a x + 4a + 4b)e^x
Igualando a (x+1)e^x gera o sistema
4a = 1,
4a + 4b = 1,
cujo resultado é a = tfrac14 e b = 0. Portanto
yp(x) = x4e^x

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea e da particular, ou seja y(x)=yh(x)+yp(x).

Resposta

y(x)=C1 e^-x + C2 x e^-x + tfracx4e^x

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