Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
Passo 1
Neste exercício, queremos achar a solução geral da equação não homogênea
. O conteúdo envolve EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos obter a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
. Montando a equação característica, temos
Essa é uma equação com raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
pelo método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 vezes
, tentamos
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Igualando a
gera o sistema
cujo resultado é
e
. Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea e da particular, ou seja
.