Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações lineares de 2ª ordem e método dos coeficientes a determinar.
Vamos precisar resolver primeiro a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada
O passo aqui é montar a equação característica, que é
Resolvendo essa equação quadrática (usando soma e produto ou fórmula de Bhaskara), obtemos as raízes
Logo, a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
da equação não homogênea
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é
, tentamos
Essa escolha é padrão quando o lado direito é combinação de
e
.
Passo 4
Agora substituímos
,
e
na EDO para achar
e
.
Calculando derivadas:
Substituindo em
:
Agrupando termos de
e
, dá
Isso precisa ser igual a
.
Passo 5
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Então
Logo
Passo 6
A solução geral da EDO não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular. Portanto,
Resposta
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{6x} + \tfrac{7}{74}\cos(x) + \tfrac{5}{74}\sin(x)