Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
y^prime prime-7 y^prime+6 y=sen(x)

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações lineares de 2ª ordem e método dos coeficientes a determinar.
Vamos precisar resolver primeiro a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y'' - 7y' + 6y = 0
O passo aqui é montar a equação característica, que é
r^2 - 7r + 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática (usando soma e produto ou fórmula de Bhaskara), obtemos as raízes
r1 = 1,
r2 = 6
Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^6x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp(x) da equação não homogênea
y'' - 7y' + 6y = sin(x)
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é sin(x), tentamos
yp(x) = Acos(x) + Bsin(x)
Essa escolha é padrão quando o lado direito é combinação de sin e cos.

Passo 4

Agora substituímos yp, yp' e yp'' na EDO para achar A e B.
Calculando derivadas:
yp'(x) = -Asin(x) + Bcos(x),
yp''(x) = -Acos(x) - Bsin(x)
Substituindo em y'' - 7y' + 6y:
(-Acos x - Bsin x) -7(-Asin x + Bcos x) +6(Acos x + Bsin x)
Agrupando termos de cos(x) e sin(x), dá
(5A -7B)cos(x) + (7A +5B)sin(x)
Isso precisa ser igual a 0cos x + 1sin x.

Passo 5

Igualando coeficientes de cos e sin obtemos o sistema:
5A - 7B = 0, 7A + 5B = 1
Da primeira equação A = tfrac75B. Substituindo na segunda:
7l(tfrac75Br) + 5B = 1 implies tfrac495B + tfrac255B = 1 implies tfrac745B = 1 implies B = tfrac574
Então
A = tfrac75 cdot tfrac574 = tfrac774
Logo
yp(x) = tfrac774cos(x) + tfrac574sin(x)

Passo 6

A solução geral da EDO não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular. Portanto,
y(x) = C1 e^x + C2 e^6x + tfrac774cos(x) + tfrac574sin(x)

Resposta

y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{6x} + \tfrac{7}{74}\cos(x) + \tfrac{5}{74}\sin(x)

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