Resolva as equações abaixo.
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^3, sendo y1=x^2 uma solução da EDO homogênea associada

Passo 1

Temos a EDO de Euler-Cauchy abaixo:
x^2y''-2xy'+2y=x^3
Além disso, sabemos que y1=x^2 é solução da homogênea. O conteúdo aqui é EDO com coeficientes variáveis tipo Euler-Cauchy; precisaremos achar a solução geral da homogênea via equação característica e depois uma solução particular.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, assumimos y=x^r. Calculamos as derivadas:
y'=r x^r-1
y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na homogênea (lado esquerdo igual a zero) obtemos:
x^2cdot r(r-1)x^r-2-2xcdot r x^r-1+2x^r=0

Passo 3

Isso leva à equação característica:
r(r-1)-2r+2=0
ou seja
r^2-3r+2=0
cuja solução é r=1 e r=2. Assim, as soluções fundamentais são y1=x^2 e y2=x, e a solução geral da homogênea é
yh=C1x^2+C2x

Passo 4

Para a parte particular, como o termo forçante é x^3 e o expoente 3 não coincide com as raízes da característica, tentamos
yp=A x^3
Calculamos:
yp'=3A x^2
yp''=6A x

Passo 5

Substituindo yp na EDO original obtemos:
x^2(6Ax)-2x(3Ax^2)+2(Ax^3)=6A x^3-6A x^3+2A x^3=2A x^3
Isso deve ser igual a x^3, logo
2A x^3 = x^3
De onde A=tfrac12.

Resposta

y=C1x^2+C2x+tfrac12x^3

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