Resolva as equações abaixo.
y^prime prime-5 y^prime+4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-5y'+4y=0
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=8. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Montar a equação característica associada à ODE:
r^2 - 5r + 4 = 0

Passo 3

Resolver a equação característica encontrando as raízes:
As raízes são r = 4 e r = 1.

Passo 4

Escrever a solução geral da ODE com base nas raízes distintas:
y(t) = C1 e^4t + C2 e^t

Passo 5

Calcular a derivada de y(t):
y'(t) = 4C1 e^4t + C2 e^t

Passo 6

Aplicar as condições iniciais em t=0 e resolver para C1 e C2:
C1 + C2 = 0, 4C1 + C2 = 8
Resolvendo esse sistema obtém-se C1 = tfrac83 e C2 = -tfrac83.

Passo 7

Substituir C1 e C2 na solução geral para obter a solução particular:
y(t) = 83e^4t - 83e^t

Resposta

y(t) = 83e^4t - 83e^t

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