Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de terceira ordem
que é uma equação linear com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral somando a solução homogênea e uma solução particular. Para isso precisaremos do polinômio característico e do método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da parte homogênea. O polinômio característico é
Então as raízes são
(simples) e
(dupla). Daí a solução homogênea é
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular para o termo
. Como
é raiz dupla do característico, multiplicamos o ansatz usual por
. Logo tentamos
Calculando as derivadas e substituindo em
obtemos
Para igualar a
precisamos de
, ou seja
. Assim
Passo 4
Agora tratamos o termo polinomial
. Como
é raiz simples, multiplicamos por
o polinômio de grau 3. Assim o ansatz é
Derivando e substituindo em
igual a
, igualamos coeficientes e obtemos
Resolvendo dá
,
,
,
. Logo
Passo 5
Por fim a solução geral é a soma
. Assim
Passo 6
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}x e{x}+x{2}e{x}+\tfrac14x{4}+2x{3}+9x{2}+24x