Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
y^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=2 e^x+x^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de terceira ordem
y''' - 2y'' + y' = 2e^x + x^3
que é uma equação linear com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral somando a solução homogênea e uma solução particular. Para isso precisaremos do polinômio característico e do método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da parte homogênea. O polinômio característico é
r^3 - 2r^2 + r = r(r - 1)^2 = 0
Então as raízes são r=0 (simples) e r=1 (dupla). Daí a solução homogênea é
yc = C1 + C2 e^x + C3 x e^x

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular para o termo 2e^x. Como r=1 é raiz dupla do característico, multiplicamos o ansatz usual por x^2. Logo tentamos
yp1 = A x^2 e^x
Calculando as derivadas e substituindo em y''' - 2y'' + y' obtemos
igl(y''' - 2y'' + y'r)p1 = 2A e^x 
Para igualar a 2e^x precisamos de 2A=2, ou seja A=1. Assim
yp1 = x^2 e^x

Passo 4

Agora tratamos o termo polinomial x^3. Como r=0 é raiz simples, multiplicamos por x o polinômio de grau 3. Assim o ansatz é
yp2 = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx
Derivando e substituindo em y''' - 2y'' + y' igual a x^3, igualamos coeficientes e obtemos
4A=1,
3B-24A=0,
24A-12B+2C=0,
6B-4C+D=0
Resolvendo dá A=1/4, B=2, C=9, D=24. Logo
yp2 = tfrac14x^4 + 2x^3 + 9x^2 + 24x

Passo 5

Por fim a solução geral é a soma y=yc+yp1+yp2. Assim

Passo 6

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}x e{x}+x{2}e{x}+\tfrac14x{4}+2x{3}+9x{2}+24x

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