Faça o que se pede nos seguintes itens:
c) Use a transformada de Laplace para encontrar a solução de y^prime prime+4 y=f(t), com y(0)=0 e y^prime(0)=-1, em que f(t)=ll1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1 e f(t+1)=f(t) ;

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a EDO y''+4y=f(t) com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=-1 e força periódica de período 1 definida por f(t)=1 em [0,1) e zero em [1,,2), repetindo-se.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace à EDO. Sabendo que Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly(s)=Y(s), obtemos:
(s^2+4)Y(s)-s,y(0)-y'(0)=F(s)

Passo 3

Encontramos F(s)= Lf(t) usando a fórmula de funções periódicas de período T=1.
F(s)=11-e^-sintegral0^1e^-st,dt=1-e^-ss,(1-e^-s)=1s
Logo, F(s)=1/s.

Passo 4

Substituindo y(0)=0 e y'(0)=-1 na equação transformada, fica
(s^2+4)Y(s)+1=1/s
portanto
Y(s)=1/s-1s^2+4=1-ss,(s^2+4)

Passo 5

Fazemos frações parciais em 1-ss(s^2+4)=As+Bs+Cs^2+4. Igualando coeficientes no numerador:
1-s=A(s^2+4)+(Bs+C)s=(A+B)s^2+Cs+4A,
vemos ter A+B=0, C=-1 e 4A=1. Daí A=1/4, B=-1/4, C=-1.

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-11/(4s)=1/4, L^-1-tfrac14tfracss^2+4=-tfrac14cos(2t), L^-1-tfrac1s^2+4=-tfrac12sin(2t)

Resposta

y(t)=tfrac14 - tfrac14cos(2t) - tfrac12sin(2t)

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