Resolva as equações abaixo.
, sendo
uma solução da EDO homogênea associada
Passo 1
Temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
A EDO é
. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada, usando a solução dada
e o método de redução de ordem, e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Começamos pela homogênea associada dividindo a EDO por
, obtendo
Neste formato, identificamos
. Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
Como
e
, temos
Podemos reescrever a solução multiplicando por constante, escolhendo
.
Passo 3
A solução geral da equação homogênea é então
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
da EDO original, usamos um palpite polinomial. Como o termo não homogêneo é
, tentamos
Então
Substituindo em
dá
Para ser igual a
precisamos de
e
, ou seja
e
. Logo
.
Passo 5
A solução geral da EDO completa é a soma da homogênea com a particular, ou seja