Resolva as equações abaixo.
x^2 y^prime prime-x y^prime=3 x^3, sendo y1=1 uma solução da EDO homogênea associada

Passo 1

Temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
A EDO é x^2y''-xy'=3x^3. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada, usando a solução dada y1=1 e o método de redução de ordem, e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Começamos pela homogênea associada dividindo a EDO por x^2, obtendo
y''-1xy'=0
Neste formato, identificamos p(x)=-1/x. Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
y2=y1integrale^-integral p(x),dxy1^2,dx
Como y1=1 e -integral p(x),dx=integraltfrac1xdx=ln x, temos
y2=1integral e^ln x,dx=integral x,dx=x^22
Podemos reescrever a solução multiplicando por constante, escolhendo y2=x^2.

Passo 3

A solução geral da equação homogênea é então
yh=C1cdot1+C2cdot x^2=C1+C2x^2

Passo 4

Para encontrar uma solução particular yp da EDO original, usamos um palpite polinomial. Como o termo não homogêneo é 3x^3, tentamos
yp=Kx^m
Então
yp'=Km x^m-1, yp''=Km(m-1)x^m-2
Substituindo em x^2y''-xy'=3x^3
x^2cdot Km(m-1)x^m-2-xcdot Km x^m-1=Km(m-2)x^m
Para ser igual a 3x^3 precisamos de m=3 e Kcdot3(3-2)=3, ou seja 3K=3 e K=1. Logo yp=x^3.

Passo 5

A solução geral da EDO completa é a soma da homogênea com a particular, ou seja
y(x)=yh+yp=C1+C2x^2+x^3

Resposta

y(x)=C1+C2x^2+x^3

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