Resolver a seguinte equação diferencial:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
Aqui o conteúdo é EDO linear não homogênea de 2ª ordem. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Montamos a equação característica
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular notamos que a função
tem derivadas que envolvem
e
. Tentamos
Calculando as derivadas:
$$
y_{p}’ = 2x e{x{2}},\quad y_{p}’’ = (2x e{x{2}})’ = 2e{x{2}} + 4x{2}e{x^{2}}.
$$
Então
Então
Passo 4
Verificamos no lado esquerdo da EDO não homogênea:
que coincide exatamente com o lado direito. Logo
é uma solução particular.
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: