Resolver a seguinte equação diferencial:
d^2 yd x^2-2 y=4 x^2 e^x^2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 - 2y = 4x^2e^x^2
Aqui o conteúdo é EDO linear não homogênea de 2ª ordem. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y = 0
Montamos a equação característica
r^2 - 2 = 0 implies r = pmraiz2
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1e^raiz2,x + C2e^-raiz2,x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular notamos que a função e^x^2 tem derivadas que envolvem x e^x^2 e x^2e^x^2. Tentamos
yp(x)=e^x^2
Calculando as derivadas:
$$
y_{p}’ = 2x e{x{2}},\quad y_{p}’’ = (2x e{x{2}})’ = 2e{x{2}} + 4x{2}e{x^{2}}.
$$
Então

Passo 4

Verificamos no lado esquerdo da EDO não homogênea:
yp'' - 2yp = (2 + 4x^2)e^x^2 - 2e^x^2 = 4x^2e^x^2,
que coincide exatamente com o lado direito. Logo yp(x)=e^x^2 é uma solução particular.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1e^raiz2x + C2e^-raiz2x + e^x^2

Resposta

y(x) = C1e^raiz2x + C2e^-raiz2x + e^x^2

Exercícios relacionados