Resolva as equações abaixo.
y^prime prime+y=cot (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: $ y’’ + y = \cot(x) y'' + y = cot(x) çãçãéçãçãê y’’ + y = 0 $) mais uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + y = 0 $.
Para isso, usamos a equação característica:
y'' + y = 0
Resolvendo para $ r $:
r^2 + 1 = 0
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
r
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) da equação completa $ y’’ + y = \cot(x) $.
Vamos usar o método de Variação de Parâmetros. Primeiro, definimos que:
yp
onde $ u_1 $ e $ u_2 $ são funções a serem determinadas.
As derivadas de $ y_p $ são:
y'' + y = cot(x)
yp = u1(x) cos(x) + u2(x) sin(x)
Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação original $ y’’ + y = \cot(x) $, e simplificando, chegamos a um sistema de equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $.
Depois de resolver esse sistema, encontramos:
u1
u2
Integrando:
yp
yp' = u1' cos(x) - u1 sin(x) + u2' sin(x) + u2 cos(x)
Portanto, a solução particular é:
yp'' = u1'' cos(x) - 2u1' sin(x) - u1 cos(x) + u2'' sin(x) + 2u2' cos(x) - u2 sin(x)
Simplificando:
yp

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) + sin(x) cos(x) + sin(x) ln|sin(x)| - sin^2(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = \cot(x) $ é:
y'' + y = cot(x)
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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