Resolva as equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: $ y’’ + y = \cot(x)
y’’ + y = 0 $) mais uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + y = 0 $.
Para isso, usamos a equação característica:
Resolvendo para $ r $:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) da equação completa $ y’’ + y = \cot(x) $.
Vamos usar o método de Variação de Parâmetros. Primeiro, definimos que:
onde $ u_1 $ e $ u_2 $ são funções a serem determinadas.
As derivadas de $ y_p $ são:
Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação original $ y’’ + y = \cot(x) $, e simplificando, chegamos a um sistema de equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $.
Depois de resolver esse sistema, encontramos:
Integrando:
Portanto, a solução particular é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = \cot(x) $ é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.