Encontre soluções gerais para as seguinte equações de Euler-Cauchy:
x^2 y^prime prime+7 x y^prime+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y'' + 7x,y' + 25y = 0,
cujo método padrão é usar o ansatz y = x^m. Precisaremos derivar, substituir na equação e resolver a equação característica para m.

Passo 2

Assumindo y=x^m, temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo em
x^2y'' + 7x,y' + 25y = 0
vem
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + 7xl[mx^m-1r] + 25,x^m = x^ml[m(m-1)+7m+25r]=0
Logo a equação característica é
m(m-1) + 7m + 25 = 0 ;Longrightarrow; m^2 + 6m + 25 = 0

Passo 3

Resolvendo
m^2 + 6m + 25 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
m = -6 pm raiz6^2 - 4cdot1cdot252 = -6 pm raiz36 - 1002 = -6 pm raiz-642 = -3 pm 4,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas alphapm ibeta com alpha=-3 e beta=4, a solução real geral é
y(x) = x^alphal(C1cosl(betaln xr) + C2sinl(betaln xr)r)
Substituindo alpha e beta obtemos
y(x) = x^-3l(C1cosl(4ln xr) + C2sinl(4ln xr)r),
válida para x>0.

Resposta

boxedy(x) = x^-3l(C1cosl(4ln xr) + C2sinl(4ln xr)r), C1,C2inR

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