Questão 1 (valor: 2, 0). Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier da seguinte função periódica y(t)= sen^2(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função periódica y(t) = sin^2(t) e encontrar a série de Fourier dessa função. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e análise de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o gráfico de y(t) = sin^2(t) . Sabemos que o seno quadrado de um ângulo pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
sin^2(t) = 1 - cos(2t)2
Isso nos mostra que a função sin^2(t) oscila entre 0 e 1, com uma frequência dobrada devido ao termo cos(2t) .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico. A função y(t) = sin^2(t) terá um período de pi , já que a frequência dobrou. O gráfico será uma onda que varia de 0 a 1, começando em 0 quando t = 0 , atingindo 1 em t = pi/2 e voltando a 0 em t = pi , repetindo esse padrão continuamente.

Passo 4

Para encontrar a série de Fourier de y(t) = sin^2(t) , usamos a identidade que já mencionamos:
sin^2(t) = 1 - cos(2t)2
Isso significa que a função pode ser expressa como uma constante mais um termo de cosseno.

Passo 5

A série de Fourier geral para uma função periódica com período T é dada por:
y(t) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(2pi n tT) + bn sin(2pi n tT) ]
No nosso caso, como a função sin^2(t) já está expressa em termos de cosseno, podemos identificar os coeficientes diretamente.

Passo 6

Comparando com a identidade, temos:
a0 = 12, a2 = -12, e an = 0 para n neq 0,2
Além disso, todos os coeficientes bn = 0 , já que não há termos de seno na expressão.

Passo 7

Portanto, a série de Fourier de y(t) = sin^2(t) fica:
y(t) = 12 - 12 cos(2t)

Resposta

A série de Fourier da função y(t) = sin^2(t) é:
y(t) = 12 - 12 cos(2t)

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