Questão 1 (valor: 2, 0). Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier da seguinte função periódica
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função periódica
e encontrar a série de Fourier dessa função. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e análise de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico de
. Sabemos que o seno quadrado de um ângulo pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Isso nos mostra que a função
oscila entre 0 e 1, com uma frequência dobrada devido ao termo
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico. A função
terá um período de
, já que a frequência dobrou. O gráfico será uma onda que varia de 0 a 1, começando em 0 quando
, atingindo 1 em
e voltando a 0 em
, repetindo esse padrão continuamente.
Passo 4
Para encontrar a série de Fourier de
, usamos a identidade que já mencionamos:
Isso significa que a função pode ser expressa como uma constante mais um termo de cosseno.
Passo 5
A série de Fourier geral para uma função periódica com período
é dada por:
No nosso caso, como a função
já está expressa em termos de cosseno, podemos identificar os coeficientes diretamente.
Passo 6
Comparando com a identidade, temos:
Além disso, todos os coeficientes
, já que não há termos de seno na expressão.
Passo 7
Portanto, a série de Fourier de
fica:
Resposta
A série de Fourier da função
é: