Encontre as soluções gerais para as seguintes equações diferenciais:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 3y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, assumindo uma solução do tipo y=e^{rx}.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na equação diferencial, obtemos
r^{2}e^{rx} + 3e^{rx} = 0
Como e^{rx}\neq 0, a parte essencial é a equação característica
r^{2} + 3 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^{2} + 3 = 0
temos
r^{2} = -3
r = \pm i\sqrt{3}
São raízes complexas conjugadas r=\pm i\omega com \omega=\sqrt{3}. Nesse caso, a solução geral fica
y(x)=e^{0\cdot x}\bigl(C_{1}\cos(\omega x)+C_{2}\sin(\omega x)\bigr)
ou seja, eliminando e^{0\cdot x}=1:

Passo 4

Escrevendo explicitamente com \omega=\sqrt{3}, a solução geral é
y(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)

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